Тема 3. Формализованные логические языки

 

 

Язык логики предикатов

 

Формализованный язык классической логики предикатов по существу является фрагментом и результатом некоторой реконструкции естественного языка. Специфика его состоит, прежде всего, в наличии точных правил построения высказываний (формул) и сложных имен (термов). Этот язык предназначен для аксиоматического построения теорий, для анализа содержания высказываний естественного языка и выявления логических отношений между ними, для описания правил рассуждения, построения выводов и доказательств и т.д.

Язык классической логики предикатов обычно характеризуют как символический язык потому, что здесь используется особая символика.

 

Исходные символы

 

p, q, r, s, p₁... – пропозициональные переменные (символы для обозначения целых повествовательных предложений);

a, b, c, d, a₁... – предметные константы (символы для обозначения единичных имен);

x, y, z, x₁... – предметные переменные (символы для обозначения общих имен);

P, Q, R, S, P₁... – предикатные символы (символы для обозначения свойств и отношений).

ù - логическое отрицание («не» или «неверно, что»);

Ù - конъюнкция («и»);

Ú - дизъюнкция («или»);

Ú - строгая дизъюнкция («либо…, либо…»);

É - импликация («если…, то…»)

º - тождество (эквивалентность) («тогда и только тогда, когда…»);

" - квантор всеобщности («все», «каждый»);

$ - квантор существования («некоторые», «существуют»);

Помимо этого в записи используются технические знаки: скобки и запятая.

Мы рассмотрим только самые простейшие основы языка классической логики предикатов.

Выражения языка логики предикатов называются формулами. Определению правильно построенной формулы предшествует определение терма.

 

Термы (Индуктивное определение):

 

1) любая предметная переменная и предметная константа есть терм;

2) если t₁, t₂, …t_n есть термы и fⁿ есть n -местный предметный функтор, то fⁿ(t₁, t₂, … t_n) есть терм;

3) ничто, кроме указанного в пунктах 1) и 2), не есть терм.

 

Формулы (Индуктивное определение):

 

1) если t₁, t₂, …t_n есть термы и Рⁿ – n -местный предикатор, то Pⁿ(t₁, t₂, …t_n) есть формула (атомарная);

2) если А и В – формулы, то (АÉВ), (АÙВ), (АÚВ), ùА – формулы;

3) если х есть предметная переменная и А – формула, то "хА и $хА – формулы;

4) ничто, кроме указанного в пунктах 1) – 3), не есть формула.

Использованные в определениях терма и формулы символы t₁, t₂, …t_n и fⁿ, Pⁿ, А, В, х – знаки метаязыка.

Метаязык – это язык, на котором говорят о другом языке. Например, в учебнике английского языка для русских метаязыком является как раз русский язык, а английский в этом случае будет называться объектным. Объектный язык – это язык описание которого происходит с помощью метаязыка. Если взять учебник русского языка для англичан, то объектным в нем является русский язык, а метаязыком – английский.

При переводе высказываний на язык логики предикатов существует различие между записью признаков-свойств и признаков-отношений.

Тот факт, что предмету а принадлежит свойство Р на языке логики предикатов запишется Р(а), а то, что предмету b принадлежит свойство Q – Q(b). То что некоторое свойство Р принадлежит произвольному предмету х из некоторой, выбранной нами области, запишется Р(х).

Пример. Высказывание «Это дерево высокое» на языке логики предикатов запишется так: Р(а), где а – «это дерево»; Р – «высокое».

Пример. «Некоторые деревья высокие» на языке логики предикатов запишется формулой $хР(х), где х – «деревья»; Р – «высокие»; $ - квантор существования, указывающий на то, что в высказывании речь идет только о некоторых элементах множества «деревья».

То, что между двумя произвольными предметами х и у существует отношение R, запишется R(x,y).

Пример. Высказывание «Каждое положительное число больше любого отрицательного» в виде формулы можно представить так: "х"уR(х,у), где х – «положительные числа»; у – «отрицательные числа»; R – отношение «быть больше».

Пример. «Пять больше трех» на языке логики предикатов запишется R(a,b), где а – «пять»; b – «три»; R – «быть больше».

Пример. «Москва расположена между Петербургом и Екатеринбургом». В этом высказывании имеет место отношение между тремя предметами «Москва», «Петербург», «Екатеринбург». Формула высказывания будет следующей: R(a,b,c), где a – «Москва»; b – «Петербург»; c – «Екатеринбург»; R – отношение «быть расположенным между».

Формулы Р(а), Р(х), R(х,у), R(a,b,c) и т.д. называются предикатами. Предикат следует отличать от предикатора. Предикаторы (см. Тема 2) являются составными частями предикатов. Разница между ними в том, что, если речь идет о характеристиках (свойствах и отношениях, а также характеристиках предметно-функционального типа) без отнесения их к определенным предметам, то они называются предикаторами. Если же мы говорим о предикатах, то подразумеваем характеристики определенных, данных предметов. Таким образом, в отличие от предикаторов, предикаты – это не просто знаки свойств или отношений, а знаки признаков. Например, слово «белый» как знак отвлеченного от предметов свойства будет являться предикатором, а как знак признака предмета «свитер» («белый свитер») или «снег» («белый снег») – предикатом.

Знаки свойств называются одноместными предикатами. Знаками отношений являются многоместные предикаты. Так, предикаты Р(а) и Р(х) – одноместные. Предикаты R(х,у) и R(a,b,c) – многоместные: R(х,у) – двухместный предикат; R(a,b,c) – трехместный предикат. Часто местность предиката указывают верхним индексом: R²(х,у), R³(a,b,c).

При записи высказываний на языке логики предикатов нужно иметь в виду, что в логике принято различать атрибутивные и реляционные свойства. Атрибутивные свойства представляют собой характеристики предметов самих по себе, например, «является человеком», «жидкий», «способный» и т.д. Реляционные свойства всегда образуются из некоторого отношения и указывают на наличие или отсутствие отношения данного предмета к каким-то другим предметам.

Пример. Высказывание «Москва расположена между Петербургом и Екатеринбургом» можно записать формулой R₁(а), где а – «Москва»; R₁ – реляционное свойство «быть расположенным между Петербургом и Екатеринбургом». Нетрудно заметить, что одноместный предикат R₁(а), который представляет реляционное свойство, образуется из многоместного (в данном случае, трехместного) предиката R(a,b,c).

Пример. Высказывание «Всякий студент знает какой-нибудь иностранный язык» может быть записано на языке классической логики предикатов в следующем виде:

"х$yR(x,y),

где «х» употребляется вместо «студент», «у» - вместо «иностранный язык», «R» является знаком отношения «знает».

Классы студентов и иностранных языков называются областями значений соответственно х и у.

Информацию, заключенную в исходном высказывании, можно выразить более подробно:

"x(P(x) É $y(Q(y) Ù R(x,y))),

где P и Q обозначают теперь, соответственно, «студент» и «иностранный язык», рассматриваемые как знаки свойств (т.е. одноместные предикаторы), а х и у имеют единую область значений – множество «объектов вообще».

Пример. Высказывание «Если какое-то тело вторгается в атмосферу Земли, то оно вспыхивает» на языке логики предикатов запишется так:

"x(P(x,a)ÉQ(x)),

где Р – отношение «вторгается»; Q – «вспыхивает»; а – «атмосфера Земли»; х – «тело».

 

 

Язык логики суждений

 

В ряде случаев в процессе логического анализа для выяснения некоторых логических отношений (логического следования, совместимости, несовместимости высказываний и др.) не играют роли структуры простых высказываний. Не учитывать такие структуры (если в этом действительно нет необходимости) позволяет так называемый язык классической логики высказываний, использующий пропозициональные переменные.

 

Формулы (Индуктивное определение):

 

1) каждая пропозициональная переменная есть формула;

2) если А и В – формулы, то (АÉВ), (АÙВ), (АÚВ), (А Ú В), (АºВ), ùА – формулы;

3) ничто, кроме указанного в пунктах 1) – 2), не есть формула.

 

Другими словами, по пункту 1) некоторые высказывания, например p и q есть формулы. Следовательно, по пункту 2) (pÙq) также есть формула, а равно (pÙq), (p®q) также есть формулы. Но поскольку (pÙq) и (pÙq) формулы, то ((pÙq)º(pÙq)) – также формула по пункту 2). Таким образом, можно построить все возможные формулы сложных высказываний.

Пример. «Вы получите положительную оценку по логике тогда и только тогда, когда вы решите все предлагаемые вам задачи и не будете шуметь на лекциях». Обозначим простые высказывания при помощи пропозициональных переменных: p – «Вы получите положительную оценку по логике»; q – «Вы решите все предлагаемые вам задачи»; r – «Вы будете шуметь на лекциях». Тогда получится формула:

pºqÙùr.

 

 

Вопросы и упражнения для повторения

 

1. Для чего в применяются языки классической логики предикатов и логики высказываний?

2. В чем заключается различие между предикатором и предикатом?

3. Чем определяется местность предикатора? Знаками каких признаков являются одноместные и многоместные предикаты?

4. Как можно подробнее переведите на язык логики предикатов следующие суждения:

а) При широком понимании предмета логики, она представляет собой часть теории познания.

б) У Земли геометрический центр и центр тяжести не совпадают.

в) Окружность радиуса 1 с центром в начале координат называют единичной окружностью.

г) Производная суммы равна сумме производных.

д) Площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного.

5. Придумайте высказывания, соответствующие формулам:

а) "х(Р(х)ÉQ(x))

б) $x(P(x)ÙùQ(x))

в) "x"y(R(x,y)ÉR(y,x))

г) $x"yP(x,y)

д) $x"y"z(R(x,y)ÙùR(x,z))

6. Переведите на язык логики высказываний следующие сложные суждения:

а) Если на приговор подана жалоба или принесен протест, дело подлежит передаче в вышестоящий суд.

б) Если некоторое число N оканчивается на 0 или 5, то оно долится на 5, и если число N не делится на 5, то оно не оканчивается ни на 0, ни на 5.

в) Жарко и идет дождь.

г) Дождь не идет, но не жарко.

д) Подальше положишь, поближе возьмешь.