Отношение между сложными суждениями

 

Сложные суждения вступают в отношения, подобные отношениями между категорическими суждениями, правда, с некоторыми отличиями.

Как и категорические, сложные суждения могут быть сравнимыми и несравнимыми.

Сложные суждения называются несравнимыми, если в совместно построенной для них таблице истинности среди сочетаний их истинностных значений встречаются все возможные комбинации: (И И), (И Л), (Л И), (Л Л).

Пример. Рассмотрим суждения p Ú ùq и ùp Ù r. Построим для них совместную таблицу истинности:

 

 

p	q	r	ùq	p Ú ùq	ùp	ùp Ù r
И	И	И	Л	И	Л	Л
И	И	Л	Л	И	Л	Л
И	Л	И	И	И	Л	Л
И	Л	Л	И	И	Л	Л
Л	И	И	Л	Л	И	И
Л	И	Л	Л	Л	И	Л
Л	Л	И	И	И	И	И
Л	Л	Л	И	И	И	Л

Сравнивая в выделенных столбцах значения истинности по строкам, видим, что в таблице встречаются все возможные комбинации истинностных значений. Значит, суждения p Ú ùq и ùp Ù r являются несравнимыми.

Сложные суждения называются сравнимыми, если в совместной таблице истинности среди сочетаний их истинностных значений отсутствует хотя бы одна возможная комбинация.

Пример. Суждения p ® q и p Ù q сравнимы. Проверим это с помощью совместной таблицы истинности:

p	q	p ® q	p Ù q
И	И	И	И
И	Л	Л	Л
Л	И	И	Л
Л	Л	И	Л

В строках выделенных столбцов отсутствует комбинация (Л И), что и свидетельствует о совместимости суждений.

Среди сложных сравнимых суждений различают совместимые и несовместимые.

Совместимыми называются суждения, одновременно истинные или принимающие во всех строках таблицы одни и те же значения. Несовместимыми называют сложные суждения, которые не являются одновременно истинными и не принимают во всех строках таблицы истинности одни и те же значения.

К отношению совместимости относятся эквивалентность, частичная совместимость и логическое следование (подчинение).

Эквивалентными называются суждения, которые принимают одно и то же значение во всех строках построенной для них совместно таблицы истинности.

Пример. Суждения ù(p Ù q) и ùp Ú ùq являются эквивалентными:

p	q	ùp	ùq	p Ù q	ù(p Ù q)	ùp Ú ùq
И	И	Л	Л	И	Л	Л
И	Л	Л	И	Л	И	И
Л	И	И	Л	Л	И	И
Л	Л	И	И	Л	И	И

 

Заметим, что все логически истинные и логически ложные суждения эквивалентны друг другу.

Суждения частично совместимы, если в построенной для них совместно таблице истинности не встречается комбинация значений (Л Л), но встречаются все остальные возможные комбинации их значений. Главная черта частично совместимых суждений – то, что они не могут быть одновременно ложными.

Пример. Частично совместимыми будут суждения ù(p Ù q) и p Ú q:

p	q	p Ù q	ù(p Ù q)	p Ú q
И	И	И	Л	И
И	Л	Л	И	И
Л	И	Л	И	И
Л	Л	Л	И	Л

 

Эти суждения находятся в отношении частичной совместимости, так как они могут быть вместе истинными, но не могут быть вместе ложными.

Суждения находятся в отношении логического следования, если не может быть так, чтобы первое суждение было истинно, а второе – ложно. Отношение логического следования в логике самое важное. Для его обозначения введен специальный знак «╞».

Пример. В отношении логического следования находятся суждения ùp Ù q и ùp ® q:

p	q	ùp	ùp Ù q	ùp ® q
И	И	Л	Л	И
И	Л	Л	Л	И
Л	И	И	И	И
Л	Л	И	Л	Л

 

Отношение несовместимости сводится к двум типам: противоречию и противоположности.

Суждения находятся в отношении противоречия, если они не могут быть ни вместе истинными, ни вместе ложными.

Пример. Отношение противоречия имеет место между суждениями p Ù q и ùp Ú ùq:

p	q	ùp	ùq	p Ù q	ùp Ú ùq
И	И	Л	Л	И	Л
И	Л	Л	И	Л	И
Л	И	И	Л	Л	И
Л	Л	И	И	Л	И

 

Суждения находятся в отношении противоположности, если в построенной для них совместно таблице истинности не встречается комбинация значений (И И), но встречаются все остальные возможные комбинации. Эти суждения могут быть вместе ложными, но не могут быть вместе истинными.

Пример. Противоположными являются суждения p Ù q и ùp Ù ùq:

p	q	ùp	ùq	p Ù q	ùp Ù ùq
И	И	Л	Л	И	Л
И	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	И	Л	Л	Л
Л	Л	И	И	Л	И

 

Классификация отношений между сложными суждениями может быть представлена в виде схемы (см. рисунок 17).

 

 

 

Рисунок 17. Отношение между сложными суждениями

 

 

Знание отношений между сложными суждениями, как и между простыми, помогает правильно сочетать их в рассуждениях, избегать собственных ошибок и находить ошибки у оппонентов.

Отрицание суждений

 

Логическое отрицание или инверсия (от лат. inversio – переворачивание) означает переход к противоречащему суждению. Отрицание суждений производится различно, в зависимости от вида суждения.

1. При отрицании единичных суждений меняется их качество, т.е. единично-утвердительное суждение становится единично-отрицательным и наоборот.

Пример. Отрицание единичного суждения «Иванов отличник» будет суждение «Иванов не является отличником».

2. При отрицании категорических суждений меняется их качество (утвердительное становится отрицательным и наоборот) и количество (общее становится частным и наоборот). Т.е. отрицание производится в соответствии со следующими схемами:

ùА~О; ùО~А; ùE~I; ùI~E.

Пример. Суждение «Все студенты нашей группы – отличники» - общеутвердительное. Следовательно, его отрицанием должно быть частноотрицательное суждение: «Некоторые студенты нашей группы не являются (не есть) отличниками».

3. При отрицании единично-единичных суждений меняется их качество.

Пример. Результатом отрицания суждения «Иван старше Петра» будет суждение «Иван не старше Петра».

4. При отрицании единично-множественного или множественно-единичного суждения с отношением меняется его качество и кванторы:

ù"xR(a,x)~$xùR(a,x); ù"xùR(a,x)~$xR(a,x);

ù"xR(x,a)~$xùR(x,a); ù"xùR(x,a)~$xR(x,a);

ù$xR(a,x)~"xùR(a,x); ù$xùR(a,x)~"xR(a,x);

ù$xR(x,a)~"xùR(x,a); ù$xùR(x,a)~"xR(x,a).

Пример. Сделаем отрицание суждения «Москва больше всех европейских городов». Это утвердительное единично-множественное суждение, в котором понятие «европейские города» стоит с квантором «все». Следовательно, его отрицанием должно быть отрицательное единично-множественное суждение, в котором квантор «все» изменится на «некоторые»: «Москва не больше некоторых европейских городов».

5. Аналогично проводится отрицание множественно-множественных суждений с отношением, т.е. меняется их качество и кванторы:

ù"x"yR(x,y)~$x$xùR(x,y); ù"x"yùR(x,y)~$x$yR(x,y);

ù"x$yR(x,y)~$x"yùR(x,y); ù"x$yùR(x,y)~$x"yR(x,y);

ù$x"yR(x,y)~"x$yùR(x,y); ù$x"yùR(x,y)~"x$yR(x,y);

ù$x$yR(x,y)~"x"yùR(x,y); ù$x$yùR(x,y)~"x"yR(x,y).

Пример. «Все школьники умнее некоторых студентов». Результат отрицания этого суждения следующий: «Некоторые школьники не умнее всех студентов».

6. Отрицание сложных суждений различных видов производится согласно следующим эквивалентностям:

ù(АÙВ)~ùАÚùВ;

ù(АÚВ)~ùАÙùВ;

ù(АÉВ)~АÙùВ;

ù(АÚВ)~АºВ;

ù(АºВ)~(ùАÙВ)Ú(АÙùВ).

Пример. «Если я зайду в гости, то опоздаю на лекцию». Это сложное импликативное суждение. Его отрицание: «Я зайду в гости и не опоздаю на лекцию».

 

 

Вопросы и упражнения для повторения

 

1. Дайте характеристику суждения как формы мышления. В чем заключается отличие суждения от понятий?

2. Что является знаком суждения?

3. Что в логике принято считать значением повествовательного предложения?

4. Что такое субъект и предикат суждения?

5. Что означает распределенность или нераспределенность терминов категорического суждения? Сформулируйте правило распределенности терминов в категорических суждениях.

6. Что означает отношение логического следования между суждениями?

7. Определите вид следующих суждений:

а) Каждое государство имеет свой гимн;

б) Либо в стремя ногой, либо в пень головой;

в) Все тайное становится явным;

г) Царь-колокол установлен восточнее колокольни Ивана Великого;

д) Когда б на то не Божья воля – Не отдали б Москвы;

е) Волков бояться – в лес не ходить;

ж) Некоторые животные очень умные;

з) Никто не является совершенным.

8. Определите вид следующих атрибутивных суждений и представьте их в стандартной форме:

а) Народы мира не хотят войны;

б) Народ земного шара хочет мира;

в) Несколько дней бушевал ураган;

г) Не все современники динозавров вымерли;

д) Не шведы победили в битве под Полтавой.

9. Определите, являются ли данные суждения модальными, если – да, определите тип модальности:

а) Студент обязан выполнять требования учебного плана;

б) Возможно, он приедет в воскресенье;

в) Человек знает, что он смертен;

г) Иногда допускается сдавать экзамены позднее установленного срока;

д) Всякий владелец вещи может продать её;

е) Хищение собственности противоправно;

ж) Невозможно построить вечный двигатель;

з) Неверно сводить сознание к его материальному субстрату – физиологическим нервным процессам, протекающим в мозгу;

и) Существование живых организмов без кислорода невозможно;

к) За весной следует лето.

10. Выразите данные в суждениях модальности через другие, эквивалентные им:

а) Обыск может быть произведен только в присутствии понятых;

б) Разрешен проезд при зеленом свете светофора;

в) Физическое тело, лишенное опоры, с необходимостью падает на землю;

г) Нельзя курить в общественных местах;

д) Вряд ли кто-нибудь докажет теорему Ферма.

11. Используя «логический квадрат», определите отношения между суждениями в парах:

а) Некоторые студенты являются веселыми людьми / Некоторые студенты не являются веселыми людьми;

б) Все дети бездельники / Некоторые дети не являются бездельниками;

в) Все великие люди низкого роста / Некоторые великие люди не являются людьми низкого роста;

г) Некоторые собаки злые / Некоторые собаки не злые;

д) Все люди в жизни испытывают разочарование / Некоторые люди в жизни испытывают разочарование.

12. С помощью «логического квадрата» выведите противоположные, противоречащие и подчиненные данным суждения. Установите их истинность или ложность:

а) Всякое суждение выражается в предложении;

б) Ничто человеческое мне не чуждо;

в) Никто его не понял;

г) Каждый гражданин имеет право на самозащиту;

д) Все свидетельские показания подтвердились.

13. С помощью «логического квадрата» выведите противоположные, противоречащие и подчиненные данным суждения. Установите их истинность или ложность:

а) Всякое суждение выражается в предложении;

б) Ничто человеческое мне не чуждо;

в) Никто его не понял;

г) Каждый гражданин имеет право на самозащиту;

д) Все свидетельские показания подтвердились.

14. Проведите операцию отрицания суждения, если необходимо, приводя их к стандартной форме:

а) Многие учителя не имеют высшего образования;

б) Ни один человек не имеет менее тридцати двух зубов;

в) Бывают океаны с пресной водой;

г) Ни один программист не знает все языки программирования лучше некоторых студентов;

д) Встречаются люди, не прочитавшие за всю свою жизнь ни одной книги по логике;

е) «Блажен, кто посетил сей мир в его минуты роковые»;

ж) Если ни один лентяй не является отличником, то все двоечники – лентяи.

15. Исследуйте табличным способом форму высказывания:

а) pÙ(qÚr)º(pÙq)Ú(pÚr);

б) ù((pÙq)Ép);

в) (pÉùq)Éùp;

г) ù(pÙq)Éùp;

д) ((pÉq)Ùr)É(pÚ(rÉq)).