Алгоритм анализа рассуждений В логике высказываний

 

Для логического анализа рассуждений (умозаключений) полезно пользоваться алгоритмом анализа, разработанного современной математической логикой, т.е. соответствующей теорией и техникой.

Алгоритм (техника, процедура точного однозначного решения) формально-логического анализа рассуждения включает в себя последовательное осуществление следующих действий (шагов):

1) найти и построить символическую форму рассуждения;

2) определить при помощи теории и техники логики высказываний, следует ли заключение рассуждения из посылки (посылок) рассуждения (см. приложения 1 и 2);

3) доказать заключение, т.е. построить вывод заключения из посылок при помощи правил вывода логики высказываний (см. приложение 3).

 

1. Определение и построение символической формы рассуждение предполагает:

1) выделение в рассуждении простых, законченных, повествовательных (утвердительных или отрицательных) или сводимых к ним предложений;

2) замещение (обозначение) выделенных простых предложений переменными (А, В, С, …);

3) представление как посылок, так и заключения (вывода) в виде связей между соответствующими предложениями, т.е. конъюнкций, дизъюнкций, импликаций, отрицаний и т.д. этих простых предложений.

Результатом перевода рассуждения в символическую форму будет являться утверждение о логическом следовании заключения некоторого вида из посылок некоторого вида.

Например, ~ (А → В) ╞ (А ^ ~ В)

 

В данном примере:

╞ - знак логического следования;

~ (А → В) – посылка («Неверно, что если подсудимый виновен, то у него был сообщник»);

(А ^ ~ В) – заключение («Подсудимый виновен, а сообщника у него не было»).

 

Найденная и построенная символическая форма рассуждения позволяет анализировать при помощи техники логики высказываний отношение логического следования между посылками и заключением.

2. Согласно постулатам связи отношений логического следования и общезначимых формул имликативного вида (см. приложение 2) записываем полученную символическую форму рассуждения в виде импликативной формулы, в которой посылка занимает место аптецедента импликации, а заключение – консеквента импликации.

Например:

a) Если символическая форма рассуждения имела вид

~ (А → В) ╞ (А ^ ~ В),

то полученная по 1-му постулату импликативная формула будет иметь вид

(~ (А → В) → (А ^ ~ В)).

 

b) Если же символическая форма рассуждения имела вид

A v ~ F, ~ A ╞ ~ F,

то полученная по 2-му постулату импликативная формула будет иметь вид

((A v ~ F) ^ ~ A) → ~ F.

Теперь, применяя технику табличного установления общезначимости или технику «сведения к абсурду», определяем, является ли полученная формула общезначимой (тавтологией). Из посылок некоторого вида будет логически следовать заключение, если, и только если, соответствующая символической форме рассуждения формула является общезначимой.

3. Если формула общезначима, а следовательно, заключение рассуждения логически следует из посылок, строим вывод заключения, т.е. показываем, каким именно способом, по каким правилам вывода может быть осуществлен переход от посылок к заключению.

Проведем в качестве примера анализ следующих рассуждений:

a) «Не скажи он ей, она не узнала бы. А не спроси она его, он ни за что не сказал бы ей. Но она узнала. Значит, она его спросила».

b) «Если бы он не получил лицензию, то либеральная доктрина потеряла бы красноречивого сторонника. А не будь Катя молчаливой, он ни за что не получил бы лицензию. Он, однако, продолжает защищать либеральную доктрину. Значит, Катя молчалива».

 

1. Выделим в рассуждениях простые, повествовательные (или сводимые к ним) предложения и заменим их на переменные.

a) «Он не сказал ей» - ~ А

«Она не узнала» - ~ В

«Она узнала» - В

«Она спросила» - С

«Она его не спросила» - ~ С

 

b) «Он не получил лицензию» - ~ А

«Либеральная доктрина теряет (не имеет) сторонника» - ~ В

«Катя не молчалива» - ~ С

«Либеральная доктрина имеет сторонника» - В

«Катя молчалива» - С

Легко заметить, что состав простых предложений в обоих рассуждениях одинаков.

Теперь посмотрим, каким способом в рассуждениях связаны простые предложения, и в соответствии с формой их связи найдем символическую форму рассуждений:

~ А → ~ В – первая посылка;

~ С → ~ А – вторая посылка;

В – третья посылка;

С – заключение.

Таким образом, символическая форма обоих рассуждений имеет вид:

(~ А → ~ В, ~ С → ~ А, В) ╞ С.

Здесь в скобках зафиксированы 3 посылки, из которых, как это утверждается в рассуждениях, следует заключение С, а ╞ - знак логического следования.

 

2. Согласно 2-му постулату (см. приложение 2) записываем полученное утверждение о логическом следовании в виде импликации, в которой антецедент – конъюнкция трех посылок, а консеквент – заключение.

 

Получим формулу

((~ А → ~ В) ^ (~ С → ~ А) ^ В) → С.

 

Теперь относительно полученной формулы, применяя технику косвенного доказательства общезначимости (метод «сведения к абсурду»), определяем, является ли формула общезначимой.

Для этого мы допускаем, что формула не является общезначимой, а значит, что по крайней мере в одном случае значение истинности основной импликации – «ложно» (= О)

 

((~ А ® ~ В) Ù (~ С ® ~ А) Ù В) ® С

О О

1 основное допущение косвенного

доказательства общезначимости формулы

Но тогда, согласно таблице истинности импликации, С = О, а

((~ А ® ~ В) Ù (~ С ® ~ А) Ù В) = 1,

поскольку импликация ложна только в одном случае (см. приложение 1).

Переносим значение истинности С (С = О) в антецедент основной импликации. Но если С = О, то ~ С = 1.

((~ А ® ~ В) Ù (~ С ® ~ А) Ù В) ® С

1 О О О

Если антецедент основной формулы имеет значение «истинно», а он является конъюнкцией трех подформул, то конъюнкция должна быть истинной

((~ А ® ~ В) Ù (~ С ® ~ А) Ù В) ® С

1 1 О 1 О О

Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда все составляющие конъюнкцию имеют значение истинности «истинно», а значит:

(~ А ® ~ В) = 1,

(~ С ® ~ А) = 1,

В = 1.

((~ А ® ~ В) Ù (~ С ® ~ А) Ù В) ® С

1 1 1 О 1 1 1 О О

1

 

Если В = 1, то ~ В = 0, а значит, если (~ А ® ~ В) = 1, то ~ А = 0, А = 1

(см. таблицу для импликации, приложение 1).

 

Распределение значений истинности будет иметь вид

((~ А ® ~ В) Ù (~ С ® ~ А) Ù В) ® С

О 1 1 О 1 1 1О 1 О1 1 1 О О

Но если ~ А = 0, то формула (~ С ® ~ А) = 0, поскольку ~ С = 1, а ~ А = 0. Однако эта же формула (~С ® ~А) = 1 согласно основному допущению.

((~ А ® ~ В) Ù (~ С ® ~ А) Ù В) ® С

0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0

Таким образом, допущение: «Формула не является общезначимой» приводит нас к противоречию. Действительно, одна и та же формула (~ С ® ~ А) для того, чтобы реализовать допущение, должна быть одновременно и истинной, и ложной. Противоречивое допущение должно быть отброшено, а значит, основная формула является общезначимой. Но тогда рассуждения, имеющие символическую форму

((~ А ® ~ В), (~ С ® ~ А), В) ╞ С

являются логически правильными – в них заключение логически следует из посылок.

3. Построение вывода заключения из посылок.

Выводом заключения из посылок будем называть конечную последовательность высказываний (формул), каждое из которых либо посылки (гипотеза), либо логически следует из посылок по одному из правил вывода.

В нашем примере:

 

1. ~ А ® ~ В - посылка (1)

2. ~ С ® ~ А - посылка (2)

3. В - посылка (3)

С - заключение

4. ~ С ® ~ В (высказывание следует из (1) и (2) по правилу

транзитивности импликации)

5. С (высказывание следует из (4) и (3) по правилу

modus tollens).

 

Вариантом вывода может быть:

4¢. А (высказывание следует из (1) и (3) по правилу

modus tollens)

5¢. С (высказывание следует из (2) и (4¢) по правилу modus

tollens)

 

Планы семинарских занятий