Расчет цепи методом контурных токов.

Метод контурных токов.

Метод контурных токов дает возможность упростить расчет электрических цепей по сравнению с методом расчета по законам Кирхгофа за счет уменьшения числа уравнений, которые приходится решать совместно. Этот метод заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются на основании второго закона Кирхгофа так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах. На рис. 1.22. в виде примера показана двухконтурная цепь, в которой I₁₁ и I₂₂ - контурные токи. Токи в сопротивлениях r₁ и r₂ равны соответствующим контурным токам; ток в сопротивлении r₃ являющемся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I₁₁ и I₂₂, так как эти токи направлены в ветви r₃ встречно.

Число уравнений, записываемых для контурных токов по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров, то есть для электрической схемы с числом узлов q и числом ветвей p задача нахождения контурных токов сведется к решению системы p-q +1 уравнений. Так, в схеме рис. 1.22 q = 2 p = 3; следовательно, число уравнений равно 3-2+1=2 (число уравнений независимых контуров).

Положительные направления контурных токов задаются произвольно. Направление обхода каждого контура принимается обычно совпадающим с выбранным положительным направлением контурного тока; поэтому при составлении уравнения по второму закону Кирхгофа падение напряжения от заданного контурного тока в сопротивлениях, входящих в контур, берется со знаком плюс. Падение напряжения от тока смежного контура в общем сопротивлении берется со знаком минус, если контурные токи в этом сопротивлении направлены встречно, как это, например, имеет место в схеме рис. 1.22, где направление обоих контурных токов выбрано по ходу часовой стрелки.

Для заданной электрической схемы с двумя независимыми контурами (рис.1.22) могут быть записаны два уравнения по второму закону Кирхгофа, а именно:

, ,

здесь (r₁ + r₃) и (r₂ + r₃) - собственные сопротивления контуров 1 и 2, r3 -

общее сопротивление контуров 1 и 2. После определения контурных токов, легко найти и токи всех ветвей.

I₁ = I₁₁; I₂ = I₂₂; I₃ = I₁₁ - I₂₂.

 

Баланс мощностей.

Все расчеты в электрических цепях проверяют балансом мощностей.

Баланс основан на законе сохранения и превращения энергии: сколько энергии выработали источники, столько же ее нагрузки должны потребить. Вместо энергии в балансе можно использовать мощность. Выработанная мощность всеми источниками должна быть равна суммарной мощности, расходуемой в нагрузках.

Баланс мощностей можно сформулировать так: алгебраическая сумма мощностей источников, должна быть равна арифметической сумме мощностей нагрузок. Если направление ЭДС и направление тока ветви не совпадают, то составляющая мощности этого источника в балансе мощностей берется со знаком «минус».

Мощность, отдаваемая источниками ЭДС, равна.

 

PИ = E I

Если в резисторе не происходит химических реакций, то мощность выделяется в форме тепла, согласно известному закону Джоуля.

 

PП = R I^2

где:
I — постоянный ток (А), протекающий через резистор;
P_П — мощность потерь, измеряемая в ваттах (Вт);
R — сопротивление резистора (Ом).

Равенство выражений мощностей источников и мощностей приемников называется уравнением баланса мощностей.

План составления баланса мощностей

1. Если в цепи есть источники тока, то следует любым методом найти напряжения на зажимах источников тока U_k.

Цепи с источником тока

2. вычислить мощность источников.

PИ = n   m   k = 1 Uk * Jk + k = 1 Ek * Ik

3.
где:
N — количество источников тока в цепи;
M — количество источников ЭДС в цепи;
U_k — напряжение на источниках тока J_k;

m   k = 1 Ek * Ik	—	алгебраическая сумма, здесь положительны те из слагаемых, для которых направления ЭДС Еk и соответствующего тока Ik совпадают, в противном случаи слагаемое отрицательно;
n   k = 1 Uk * Jk	—	алгебраическая сумма, здесь положительны те из слагаемых, для которых направление напряжения на зажимах источника тока Uk и направление его тока Jk во внешней цепи совпадают, в противном случаи слагаемое отрицательно.

4. вычислить мощность, расходуемую в приемниках.

PП = L   k = 1 I^2k * Rk

5. где:

L	—	количество приемников в цепи;
L   k = 1 I^2k * Rk	—	арифметическая сумма, здесь должны быть учтены как внешние резисторы, так и внутренние сопротивления самих источников.

6. Получаем равенство.

РИ = РП