Матричные уравнения контурных токов

Уравнения контурных токов можно записать в матричной форме:

,

где - квадратная матрица контурных сопротивлений;

- матрица-столбец контурных токов;

- матрица-столбец контурных ЭДС, учитывающая источники напряжений и эквивалентные ЭДС от источников тока.

Матрица контурных сопротивлений может быть получена по схеме при помощи матрицы контуров :

,

где - диагональная матрица сопротивлений ветвей;

- транспортированная матрица контуров.

Рассмотрим схему, приведенную на рисунке 2.24. Направление обхода каждого контура совпадает с положительным направлением соответствующего контурного тока, а направление ветвей – с положительными направлениями токов в ветвях.

 

 

Рисунок 2.24 – Электрическая цепь постоянного тока

 

Граф электрической цепи, с выбранным деревом из четвертой, пятой и шестой ветви, приведен на рисунке 2.25.

 

 

Рисунок 2.25 – Граф цепи постоянного тока

В данной схеме, независимые контуры содержат контурные токи , , , что соответствует первой, второй и третьей ветвям связи.

Матрица контуров состоит из трех строк и шести столбцов:

.

Диагональная матрица сопротивлений .

Произведение матриц и равно:

.

Квадратная матрица контурных сопротивлений

.

Матрица-столбец контурных токов .

Матрица-столбец контурных ЭДС

.

Пользуясь матрицами , , и уравнением , можно получить систему уравнений, составленную на основании второго закона Кирхгофа для контуров, каждый из которых включает только одну ветвь связи.

Матрица токов ветвей определяется через матрицу контурных токов по формуле .

Например, для электрической цепи (рис. 2.24):

.

Из этого матричного уравнения получаем равенства, определяющие токи ветвей через контурные токи:

; ; ; ; ; .

 

Пример 2.9. Решить задачу, приведенную в примере 2.5 с помощью матричных уравнений контурных токов.

Матрица контуров В состоит из пяти строк и десяти столбцов:

.

Диагональная матрица сопротивлений

.

Произведение матриц и равно:

.

Квадратная матрица контурных сопротивлений

.

Матрица-столбец контурных токов

.

Матрица-столбец контурных ЭДС

.

Определяем матрицу контурных токов =

.

Контурные токи соответственно равны

А, А, А,

А, А.

Матрица токов ветвей определяем через матрицу контурных токов :

.

 

Токи в ветвях соответственно равны

А, А, А, А, А,

А, А, А, А, А.

Токи, рассчитанные в примерах 2.5 и 2.9, совпадают.

 

Метод узловых потенциалов

 

 

Метод узловых потенциалов для электрических

Схем общего вида

 

 

Идея метода узловых потенциалов (МУП). Один из узлов схемы заземляется и его потенциал принимается равным нулю. Далее определяются потенциалы остальных узлов, что дает возможность определить напряжения на зажимах каждой ветви. Затем, используя закон Ома (рис. 2.26), определяем токи в ветвях.

Запишем выражения закона Ома для различных участков цепи, приведенных на рисунке 2.26.

 

 

Рисунок 2.26. – Закон Ома: а) с источником напряжения;

б) без источника напряжения

 

Для участка цепи, содержащего источник напряжения:

.

Для участка цепи, не содержащего источник напряжения:

Таким образом, для определения тока к ветвях, необходимо определить потенциалы узлов (напряжения на зажимах ветвей).

Выведем систему уравнений для определения потенциалов узлов произвольной схемы. Для этого используем закон Ома и первый закон Кирхгофа.

Допустим, имеется схема, приведенная на рисунке 2.27.

Заземлим 3 узел, тогда потенциал φ₃ = 0.

Потенциалы остальных узлов будут соответственно φ₁ и φ₂.

 

Рисунок 2.27 – Электрическая цепь

Используя закон Ома, запишем уравнения для токов в каждой ветви.

=> ,

=> ,

=> ,

=> ,

=> ,

=> .

Уравнения по первому закону Кирхгофа для первого и второго узлов имеют вид:

В полученную систему уравнений подставим уравнения для токов, составленных по закону Ома. В результате получим:

Имеем два уравнения с двумя неизвестными потенциалами φ ₁ и φ ₂.

Рассмотрим свойства полученных уравнений.

При составлении первого уравнения потенциал φ₁ умножается на сумму проводимостей ветвей, подсоединённых к этому узлу. Влияние потенциала второго узла осуществляется путем введения элемента . Этот элемент берется всегда со знаком ”-”. Слагаемое является арифметической суммой проводимостей ветвей, соединяющих 1 и 2 узел.

В правой части уравнения записывается алгебраическая сумма токов источников питания ветвей, подсоединенных к данному узлу. Если ЭДС источника направлена к узлу, то произведение берется со знаком ”+”, если от узла – со знаком ”-“.

Используя вышеуказанные свойства запишем систему уравнений для определения потенциалов произвольной схемы.

Допустим, имеется электрическая схема, содержащая n + 1 узлов. Заземляем один узел и имеем n неизвестных потенциалов (соответственно n уравнений).

где , , , …, – соответственно сумма проводимостей ветвей, подсоединённых соответственно к 1, 2 … n – ному узлу (всегда со знаком +).

где и – сумма проводимостей ветвей, соединяющих непосредственно 1 и 2 узел и т.д.

– сумма токов источников питания.

 

Пример 2.10. Рассмотрим рекомендованный порядок решения МУП на конкретном примере электрической цепи, приведенной на рисунке 2.28, с параметрами E₃ = 30 (B), Е₂ = 20 В, Е₅ = 50 В, r₁ = 20 Ом, r₂ = 10 Ом, r₃ = 8 Ом, r₄ = 10 Ом, r₅ = 10 Ом, r₆ = 5 Ом, J_k = 3 А.

 

1. Осуществляем предварительный анализ схемы. Количество ветвей – , количество узлов – .

Потенциал третьего узла принимаем равным нулю: . Следовательно, необходимо определить потенциалы , , .

 

 

Рисунок 2.28 – Электрическая цепь постоянного тока

 

2. Составляем уравнения для определения потенциалов , , :

3. Подставляем числовые значения и решаем систему уравнений.

3.1. Проводимости ветвей

См;

См;

См;

См;

См;

См.

3.2. Сумма проводимостей ветвей, подключенных к соответствующим узлам:

См;

См;

См.

Сумма проводимостей, соединяющих различные узлы

См;

См;

См.

Узловые токи А,

А,

А.

3.2. После подстановки цифровых данных система имеет вид

3.3. Решая данную систему уравнений произвольным методом, определяем потенциалы:

В,

В,

В.

3.4. Определяем токи в ветвях электрической цепи, приведенной на рисунке 2.28.

А,

А,

А,

А,

А,

А.

4. Определяем напряжение на зажимах источника тока. Из контура 121:

В.

5. Проверяем решение системы уравнений, составив баланс мощностей.

5.1. Мощность источников:

Вт,

Вт,

Вт,

Вт.

Знак ”-” указывает на то, что третий источник работает в режиме потребителя электроэнергии (например, зарядка аккумулятора).

Суммарная мощность источников:

Вт.

4.2. Мощность приемников:

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт.

Суммарная мощность приемников:

Вт.

4.3. Из сравнения генерируемой мощности источниками и потребляемой мощности приемниками, следует, что погрешность вычислении и не превышает 0,5%.

 

Пример 2.11. Рассмотрим решение задачи, приведенной в примере 2.2, методом узловых потенциалов. Электрическая цепь для рассматриваемого метода, приведена на рисунке 2.29.

 

 

Рисунок 2.29 – Электрическая цепь постоянного тока

 

1. Осуществляем предварительный анализ схемы. Количество ветвей – , количество узлов – .

Потенциал третьего узла принимаем равным нулю: . Следовательно, необходимо определить потенциалы , .

2. Составляем уравнения для определения потенциалов , :

3. Подставляем числовые значения и решаем систему уравнений.

3.1. Проводимости ветвей

См;

См;

См;

См;

См.

3.2. Сумма проводимостей ветвей, подключенных к соответствующим узлам:

См;

См.

Сумма проводимостей, соединяющих различные узлы

См.

Узловые токи А,

А.

3.2. После подстановки цифровых данных система имеет вид

3.3. Решая данную систему уравнений произвольным методом, определяем потенциалы:

В,

В.

3.4. Определяем токи в ветвях электрической цепи, приведенной на рисунке 2.29.

мА,

мА,

мА,

мА,

мА.

Токи в ветвях, рассчитанные в примерах 2.2 и 2.11, совпадают.