Матричные уравнения узловых потенциалов

 

 

Уравнения узловых потенциалов можно записать в матричной форме:

,

где - квадратная матрица узловых проводимостей;

- матрица-столбец потенциалов узлов;

- матрица-столбец узловых токов.

Узловой ток i -го узла равен алгебраической сумме тока источника тока и токов, определяемых ЭДС источников напряжений .

Уравнение для определения потенциалов узлов имеет вид

,

где - матрица, обратная матрице .

Матрицу узловых проводимостей для соответствующей схемы, можно составить по формуле

,

где - матрица соединений;

- диагональная матрица проводимостей ветвей;

- транспортированная матрица соединений.

Рассмотрим схему, приведенную на рисунке 2.31.

 

 

Рисунок 2.31 – Электрическая цепь постоянного тока

 

Граф электрической цепи приведен на рисунке 2.32.

 

 

Рисунок 2.32 – Граф цепи постоянного тока

 

Так как у приведенной схемы четыре узла, то для нахождения токов в ветвях методом узловых потенциалов, необходимо составить три независимых уравнения. Поэтому, матрица соединения узловых проводимостей ветвей состоит из трех строк и шести столбцов:

.

Диагональная матрица проводимостей .

Произведение матриц и равно:

.

Матрица узловых проводимостей получается после перемножения матриц и :

.

Матрица-столбец потенциалов узлов .

Матрица-столбец узловых токов

.

Если матрицу дополнить четвертой строкой, соответствующей узлу 4, то получится неопределенная матрица узловых проводимостей цепи, для которой сумма элементов по всем четырем строкам и четырем столбцам равна нулю. Определитель такой матрицы равен нулю. После вычеркивания любой строки и соответствующего этой строке столбца, получается квадратная матрица третьего порядка.

Определитель неопределенной матрицы симметричен относительно главной диагонали. Если вычеркнутая строка не соответствует вычеркнутому столбцу, то и в этом случае получается определенная квадратная матрица, соответствующая независимой системе уравнений. Определитель такой матрицы не имеет симметрии относительно главной диагонали.

Если принять равным нулю потенциал того же узла схемы, которой соответствует вычеркнутой строке матрицы , то напряжения на всех ветвях схемы определяются через потенциалы узлов по формуле , где положительное направление напряжения совпадает с положительным направлением тока в ветви. Это получается из формул для напряжения каждой ветви. Например, для схемы (рис. 2.31)

.

Из этого выражения следует: , , , , , .

Пример 2.13. Решить задачу, приведенную в примере 2.4 с помощью матричных уравнений узловых потенциалов.

Матрица соединений А состоит из пяти строк и десяти столбцов:

.

Диагональная матрица проводимостей

.

Произведение матриц А и равно:

Квадратная матрица узловых проводимостей

.

Матрица-столбец потенциалов узлов

.

Матрица-столбец узловых токов

.

Матрица-столбец ЭДС

.

Определяем матрицу потенциалов узлов схемы

.

Узловые потенциалы токи соответственно равны

В, В, В,

В, В.

Матрица-столбец напряжений ветвей U определяем через матрицу потенциалов узлов схемы :

Матрица токов ветвей

= .

Токи в ветвях соответственно равны

А, А, А, А, А,

А, А, А, А, А.

Токи, рассчитанные в примерах 2.4 и 2.13, совпадают.

 

 

Теоремы линейных электрических цепей

Баланс мощностей

Теорема о балансе мощностей: мощность, генерируемая источниками питания схемы, равняется мощности, потребляемой приёмниками.

Если в электрической цепи отсутствуют источники тока, то баланс мощностей имеет вид

,

где – суммарная мощность, генерируемая источниками напряжения,

– суммарная мощность, потребляемая приемниками.

Если электрические цепи содержат источники тока, то выражение баланса мощностей имеет вид

,

где – суммарная мощность генерируемая источниками тока.

Напряжение определяется с помощью второго закона Кирхгофа.

Правило знаков: если в какой-либо ветви ЭДС и ток совпадают по направлению, то берется знак ”+”. Аналогично, при положительном направлении и берется знак ”+” (положительное направление направлено навстречу току источника тока ).

Если в цепи имеется несколько источников питания, то возможно, что некоторые их них будут иметь знак ”-”. Это означает, что данный источник питания работает в режиме потребления энергии. Например, заряд аккумуляторной батареи. Однако, суммарная мощность, генерируемая источниками питания, в замкнутой электрической цепи, положительна.

Метод наложения

 

 

Токи в разветвлённых электрических цепях определяются как алгебраическая сумма токов от каждого источника в отдельности (принцип суперпозиции).

Поочерёдно рассчитываются частичные токи от действия каждого источника в отдельности. При этом остальные источники «изымаются» из схемы и вместо них «ставится» их внутреннее сопротивление («закоротка» – источник напряжения, «разрыв» – источник тока). Затем, алгебраическим суммированием токов, полученных от действия каждого источника в отдельности, находим токи в ветвях цепи.

Рассмотрим основные этапы расчета на примере электрической цепи, приведенной на рисунке 2.33.

 

Рисунок 2.33 – Расчетная электрическая схема

1. Осуществляем предварительный анализ.

Приведенная схема содержит два источника питания – источник напряжения с ЭДС и источник тока , ветвей , ветвей с источником тока , следовательно, неизвестных токов ветвях .

2. Рассчитываем частичные токи от действия источника напряжения .

2.1. Из исходной схемы удаляем источник тока (заменяем его внутренним сопротивлением ). Полученная схема имеет вид, приведенный на рисунке 2.34.

 

Рисунок 2.34 – Схема для расчета частичных токов от действия Е₁

 

2.2. Определяем входное сопротивление цепи и сопротивления на участках цепи.

.

2.3. Определяем частичные токи.

2.3.1. Частичный ток : .

2.3.2. Для определения частичных токов , , необходимо определить напряжение на зажимах 13. Оно соответственно равно:

или .

2.3.3. Частичные токи , , соответственно равны:

, .

3. Определяем частичные токи от действия источника тока .

3.1. Из исходной схемы удаляем источник напряжения (заменяем его внутренним сопротивлением ). Полученная схема имеет вид, приведенный на рисунке 2.35.

 

 

Рисунок 2.35 – Схема для расчета частичных токов от действия J_k5

 

3.2 Определяем входное сопротивление цеп и сопротивления на участках цепи:

.

3.3. Рассчитываем частичные токи в ветвях от действия источника тока .

3.3.1. Напряжение на зажимах источника тока:

.

3.3.2. Частичные токи: .

3.3.3. Напряжение на зажимах 13: .

3.3.4. Частичные токи .

4. Определяем токи в исходной схеме, как алгебраическую сумму частичных токов:

.

Пример 2.14. Рассмотрим порядок расчета на конкретном примере элетрической цепи, приведенной на рисунке 2.36, с параметрами E₁ = 50 (B), Е₅ = 60 В, J_k4 = 5 А, r₁ = 10 Ом, r₂ = 8 Ом, r₃= 15 Ом, r₄ = 20 Ом.

 

Рисунок 2.36 - Схема электрической цепи

 

1. Осуществляем предварительный анализ.

Приведенная схема содержит три источника питания – источник напряжения с ЭДС , источник напряжения с ЭДС , и источник тока , ветвей , ветвей с источником тока , следовательно, неизвестных токов ветвях .

2. Рассчитываем частичные токи (, , , , ) от действия источника напряжения .

2.1. Удаляем из исходной схемы источник напряжения и источник тока и заменяем их внутренними сопротивлениями. В результате получаем схему, приведенную на рисунке 2.37.

 

 

Рисунок 2.37 - Схема для расчета частичных токов

от действия источника напряжения Е₁

2.2. Рассчитываем частичные токи.

2.2.1. Частичные токи А, А.

2.2.2. Частичные токи , , соответственно равны:

А.

3. Рассчитываем частичные токи (, , , , ) от действия источника напряжения .

3.1. Удаляем из исходной схемы источник напряжения и источник тока и заменяем их внутренними сопротивлениями. В результате получаем схему, приведенную на рисунке 2.38.

 

 

Рисунок 2.38 - Схема для расчета частичных токов

от действия источника напряжения Е₅

3.2. Рассчитываем частичные токи.

3.2.1. Частичный ток А.

3.2.2. Частичные токи , , , соответственно равны:

А,

А,

А.

4. Рассчитываем частичные токи (, , , , ) от действия источника тока .

4.1. Удаляем из исходной схемы источники напряжения и и заменяем их внутренними сопротивлениями. В результате получаем схему, приведенную на рисунке 2.39.

 

 

Рисунок 2.39 - Схема для расчета частичных токов

от действия источника тока J_k4

 

4.2. Рассчитываем входное сопротивление цепи относительно зажимов 13:

Ом.

4.3. Определяем частичные токи от действия источника тока .

4.3.1. Для определения частичных токов , , необходимо определить напряжение . Оно соответственно равно:

B.

4.3.2. Частичные токи: А,

А,

А,

А.

5. Рассчитываем токи в исходной схеме:

А;

А;

А;

А;

А.

6. Проверяем решение, составив баланс мощностей.

6.1. Мощность источников:

Вт,

Вт,

Вт,

где – напряжение на зажимах источника тока, равное

B.

Знак ”-” указывает на то, что первый источник работает в режиме потребителя электроэнергии (например, зарядка аккумулятора).

Суммарная мощность источников:

Вт.

6.2. Мощность приемников:

Вт,

Вт,

Вт,

Вт.

Суммарная мощность приемников:

Вт.

6.3. Из сравнения генерируемой мощности источниками и потребляемой мощности приемниками, следует, что погрешность вычислении и не превышает 0,5%.

Пример 2.15. Рассмотрим решение задачи, приведенной в примере 2.2, методом наложения. Электрическая цепь для рассматриваемого метода, приведена на рисунке 2.40.

1. Осуществляем предварительный анализ схемы.

Приведенная схема содержит два источника питания – источник напряжения с ЭДС и источник напряжения с ЭДС , ветвей , узлов .

 

 

Рисунок 2.40 – Электрическая цепь постоянного тока

 

2. Рассчитываем частичные токи (, , , , ) от действия источника напряжения .

2.1. Удаляем из исходной схемы источник напряжения и заменяем его внутренним сопротивлением. В результате получаем схему, приведенную на рисунке 2.41.

 

 

Рисунок 2.41 - Схема для расчета частичных токов

от действия источника напряжения Е₁

 

2.2. Рассчитываем входное сопротивление цепи относительно зажимов 34:

Ом.

2.3. Рассчитываем частичные токи.

2.3.1. Частичный ток мА.

2.3.2. Для определения частичных токов и , необходимо определить напряжение . Оно соответственно равно:

B.

2.3.3. Частичные токи и соответственно равны:

мА,

мА.

2.3.4. Для определения частичных токов и , необходимо определить напряжение . Оно соответственно равно:

B.

2.3.5. Частичные токи и соответственно равны:

мА,

мА.

3. Рассчитываем частичные токи (, , , , ) от действия источника напряжения .

3.1. Удаляем из исходной схемы источник напряжения и заменяем его внутренним сопротивлением. В результате получаем схему, приведенную на рисунке 2.42.

 

 

Рисунок 2.42 - Схема для расчета частичных токов

от действия источника напряжения Е₂

 

3.2. Рассчитываем входное сопротивление цепи относительно зажимов 35:

Ом.

3.3. Рассчитываем частичные токи.

3.3.1. Частичный ток мА.

3.3.2. Для определения частичных токов и , необходимо определить напряжение . Оно соответственно равно:

B.

3.3.3. Частичные токи и соответственно равны:

мА,

мА.

3.3.4. Для определения частичных токов и , необходимо определить напряжение . Оно соответственно равно:

B.

3.3.5. Частичные токи и соответственно равны:

мА,

мА.

4. Рассчитываем токи в исходной схеме:

мА;

мА;

мА;

мА;

мА.

Токи в ветвях, рассчитанные в примерах 2.2 и 2.15, совпадают.