Подсоединенных к одному узлу

Во все ветви электрической цепи, подсоединенные к одному узлу (рис. 2.101), можно включить одинаковые источники напряжения, ЭДС которых равна по величине и направлена к узлу, либо от узла. Подобное включение является эквивалентным, так как в исходной схеме токораспределение остается прежним.

 

Рисунок 2.101 – Узел электрической цепи

 

Справедливость такого включения следует из второго закона Кирхгофа, согласно которому, при обходе контура, узел встречается только один раз.

Подобное преобразование рационально проводить для электрических схем, у которых имеются ветви только с одним источником напряжения. Рассмотрим указанное преобразование на примере электрической цепи, изображенной на рисунке 2.102 а.

В первую, вторую и четвертую ветви (рис. 2.102 б) включены источники напряжения по величине равные ЭДС и направлены от узла.

 

Рисунок 2.102 – Преобразование электрической цепи

 

Так как в четвертой ветви включены источники напряжения равные по величине и противоположные по направлению, то потенциалы узлов и равны. В результате схема имеет вид, представленный на рисунке 2.103.

Рисунок 2.103 – Преобразованная электрическая цепь

Таким образом, подобное преобразование позволяет уменьшить количество узлов в расчетной схеме.

 

Пример 2.26. Рассмотрим преобразование электрических цепей, в которых источники напряжения к одному узлу, на примере электрической цепи, приведенной рисунке 2.104, параметры которой Е₁ = 20 В, Е₂ = 15 В, r₃ = 50 Ом, r₄ = 150 Ом, r₅ = 200 Ом, r₆ = 100 Ом.

 

Рисунок 2.104 –Электрическая цепь постоянного тока

 

1. Осуществляем предварительный анализ схемы. Количество ветвей – , количество узлов – .

Первая и вторая ветви содержат только источники напряжения с ЭДС и соответственно.

При нахождении токов в ветвях, например, методом непосредственного применения законов Кирхгофа, необходимо составить систему уравнений из шести неизвестных токов. При нахождении токов в ветвях, например, методом контурных токов, необходимо составить систему уравнений из трех неизвестных контурных токов. Нахождение токов в ветвях, методом узловых потенциалов, невозможно, т.к. проводимости первой и второй ветви равны (отсутствуют сопротивления r₁ и r₂).

2. Используя, свойство подключения источников напряжения в ветви, подсоединенные к одному узлу, преобразуем электрическую цепь, приведенную на рисунке 2.104.

В первую, пятую и шестую ветви (рис. 2.105) включены источники напряжения по величине равные ЭДС и направлены к узлу. Во вторую, четвертую и шестую ветви (рис. 2.105) включены источники напряжения по величине равные ЭДС и направлены от узла.

 

 

Рисунок 2.105 – Преобразование электрической цепи постоянного тока

 

Так как в первой и второй ветвях включены источники напряжения равные по величине и противоположные по направлению, то потенциалы узлов и , и соответственно равны. В результате схема имеет вид, представленный на рисунке 2.106.

Рисунок 2.106 – Преобразованная электрическая цепь

Таким образом, количество узлов в расчетной схеме уменьшилось до двух.

3. Рассчитываем токи в преобразованной электрической цепи постоянного тока.

3.1. Осуществляем предварительный анализ схемы.

Количество ветвей – , количество узлов – .

3.2. Рассчитываем токи в ветвях методом узловых потенциалов.

Потенциал первого узла принимаем равным нулю: . Следовательно, необходимо определить потенциал .

3.2.1. Составляем уравнение для определения потенциала :

.

3.2.1.1. Подставляем числовые значения и находим потенциал .

3.2.1.2. Сумма проводимостей ветвей, подключенных к соответствующим узлам:

См;

Узловые токи

А.

3.2.1.3. После подстановки цифровых значений, определяем потенциал : В.

3.3. Определяем токи в ветвях электрической цепи, приведенной на рисунке 2.106.

мА,

мА,

мА,

мА.

3.4. Используя первый закон Кирхгофа, определяем токи и , в электрической цепи, приведенной на рисунке 2.105:

мА;

мА.

4. Проверяем решение, составив баланс мощностей.

4.1. Мощность, генерируемая источниками питания:

Вт,

Вт.

Суммарная мощность источников:

Вт.

4.2. Мощность, потребляемая приемниками:

Вт,

Вт,

Вт,

Вт.

Суммарная мощность, потребляемая приемниками:

Вт.

4.3. Из сравнения генерируемой мощности источником и потребляемой мощности приемниками, следует, что погрешность вычислении и не превышает 0,5%.

2.5.5. Замена параллельных ветвей эквивалентной ветвью

 

 

Допустим, имеется схема, представленная на рисунке 2.107.

 

Рисунок 2.107 – Схема электрической цепи

Доказательство:

На первом этапе ветви с источниками напряжения и последовательно соединенными резистивными сопротивлениями, заменим эквивалентными ветвями с источниками тока (рис. 2.108).

 

 

Рисунок 2.108 – Доказательство замены параллельных ветвей

 

В результате получим схему с параллельно соединенными источниками тока и ветви с параллельно соединенными сопротивлениями. Ветви с параллельно соединенными источниками тока заменяем эквивалентной схемой:

.

Ветви с параллельно соединенными сопротивлениями заменяем эквивалентной схемой:

.

Подобное доказательство можно обосновать с помощью метода узловых потенциалов. Принимаем потенциал точки . Тогда

, .

 

 

2.5.6. Взаимное преобразование схем звезда-треугольник

Соединение, представленное на рисунке 2.109 а, называют трехлучевой звездой, а на рис. 2.109 б – треугольник сопротивлений.

Ставится задача осуществить преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник и наоборот.

В общем случае звезда (треугольник) сопротивлений подключены к разветвленной схеме в узлах 1, 2, 3. Преобразования должны быть эквивалентными, т.е. в результате преобразований в остальной части схемы никаких изменений нет. Токи , , и потенциалы , , остаются неизменными.

 

 

Рисунок 2.109 – Трехлучевая звезда и треугольник сопротивлений

 

Для доказательства рассмотрим преобразования треугольника сопротивлений (рис. 2.109 б) в эквивалентную звезду схему треугольник (рис. 2.109 а). В этом случае исходными данными являются величины сопротивлений треугольника , , . Необходимо определить величины сопротивлений эквивалентной звезды – , , .

Из схемы треугольник (рис. 2.109 б), согласно второго закона Кирхгофа, имеем:

Используя первый закон Кирхгофа для 1 и 2 узлов, соответственно получим:

, .

Подставим полученные выражения, в уравнение, составленное по второму закона Кирхгофа. В результате имеем:

, откуда

.

Тогда напряжение между узлами 1 и 2:

.

Рассмотрим схему звезда (рис. 2.109 а). Для данной схемы

.

Сравнивая полученные выражения для U ₁₂,

.

Так как схемы эквивалентные то напряжение одинаково и коэффициенты при токах и тоже должны быть одинаковыми. Следовательно:

, , .

 

Пример 2.27. Рассмотрим эффективность преобразование треугольника сопротивлений в звезду сопротивлений.

1. Исходная схема (рис. 2.110 а) содержит ветвей и узла.

2. Преобразовываем треугольник сопротивлений , , в эквивалентную звезду , , , сопротивления которой соответственно равны:

, , .

В результате преобразования получим эквивалентную схему, представленную на рисунке 2.110 б.

 

 

Рисунок 2.110 – Преобразование треугольника сопротивлений

в эквивалентную звезду

 

Таким образом, после преобразования произошло упрощение схемы: вместо шести ветвей в первой схеме получили три ветви во второй; вместо четырех узлов в первой схеме получили два узла во второй.

 

Пример 2.28. Рассмотрим пример взаимных преобразований треугольник–звезда на конкретном примере. В схеме, приведенной на рисунке 2.111, заданы напряжения источников ЭДС Е₁ = 20 В, Е₃ = 15 В и значения сопротивлений r ₁ = 150 Ом, r ₂ = 50 Ом, r ₃ = 75 Ом, r ₄ = 1000 Ом, r ₅ = 800 Ом, r ₆ = 200 Ом. Определить токи ветвей.

 

 

Рисунок 2.111 – Исходная электрическая цепь постоянного тока

 

1. Исходная схема (рис. 2.111) содержит ветвей и узла.

2. Преобразовываем треугольник сопротивлений , , в эквивалентную звезду , , , сопротивления которой соответственно равны:

Ом,

Ом,

Ом.

В результате преобразования получим эквивалентную схему, представленную на рисунке 2.112.

 

 

Рисунок 2.112 – Преобразование треугольника сопротивлений

в эквивалентную звезду

 

Таким образом, после преобразования произошло упрощение схемы: вместо шести ветвей в исходной схеме получили три ветви в преобразованной схеме; вместо четырех узлов в исходной схеме получили два узла в преобразованной схеме.

3. Рассчитываем токи в электрической схеме, приведенной на рисунке 2.112, методом узловых потенциалов.

3.1. Осуществляем предварительный анализ схемы.

Количество ветвей – , количество узлов – .

3.2. Рассчитываем токи в ветвях методом узловых потенциалов.

Потенциал четвертого узла принимаем равным нулю: . Следовательно, необходимо определить потенциал пятого узла .

3.2.1. Составляем уравнение для определения потенциала :

.

5.2.1.1. Подставляем числовые значения и находим потенциал .

5.2.1.2. Сумма проводимостей ветвей, подключенных к соответствующим узлам:

См;

Узловые токи

мА.

5.2.1.3. После подстановки цифровых значений, определяем потенциал : В.

5.2.2. Определяем токи в ветвях электрической цепи, приведенной на рисунке 2.112.

мА,

мА,

мА.

3.2.5. Используя второй закон Кирхгофа, определяем токи и в электрической цепи, приведенной на рисунке 2.111:

мА;

мА.

3.2.6. Используя первый закон Кирхгофа, определяем ток в электрической цепи, приведенной на рисунке 2.111:

мА.

4. Проверяем решение, составив баланс мощностей.

4.1. Мощность, генерируемая источниками питания:

Вт,

Вт.

Суммарная мощность источников:

Вт.

4.2. Мощность, потребляемая приемниками:

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт.

Суммарная мощность, потребляемая приемниками:

Вт.

4.3. Из сравнения генерируемой мощности источником и потребляемой мощности приемниками, следует, что погрешность вычислении и не превышает 0,5%.

 

Возможно и обратное преобразование – звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник (рис. 2.113).

 

 

Рисунок 2.113 – Треугольник сопротивлений и трехлучевая звезда

 

В этом случае исходными данными являются сопротивления , , . Необходимо определить сопротивления , , .

Рассмотрим схему звезда (рис. 2.113 б). Ток равен:

.

Из метода узловых потенциалов .

Тогда ток

.

Из схемы треугольник (рис. 2.113 а), имеем: .

Ток , .

Тогда ток

.

Сравнивая ток при соединении звездой и треугольником, и учитывая эквивалентность преобразований, имеем:

, .

Аналогично .

Если в вышеуказанные формулы вместо проводимостей , , , подставить величины сопротивлений , , , , тогда

.

В общем виде формулы преобразования имеют вид:

; ; .

 

Пример 2.29. Рассмотрим пример взаимных преобразований звезда–треугольник на конкретном примере. В схеме, приведенной на рисунке 2.114 а, заданы ЭДС Е = 20 В и значения сопротивлений r ₁ = 4 Ом, r ₂ = 1 Ом, r ₃ = 1 Ом, r ₄ = 2 Ом, r ₅ = 4 Ом, r ₆ = 5 Ом. Определить токи ветвей.

 

 

Рисунок 2.114 – Электрическая схема

1. Расчет токов целесообразно осуществлять, преобразуя предварительно звезду в треугольник по схеме, приведенной на рисунке 2.114 б. В соответствии с формулами преобразования звезды сопротивлений в треугольник

Ом,

Ом,

Ом.

2. Токи в ветви определяем по закону Ома:

А.

3. Ветви , также как и ветви , соединены параллельно:

Ом,

Ом.

4. Ветви и соединены последовательно:

Ом.

5. Общий ток: А.

6. Определяем напряжение и :

В,

В.

7. Токи и в схеме цепи, приведенной на рисунке 2.114 а, определяем по закону Ома:

А, А.

8. Ток в схеме цепи, приведенной на рисунке 2.114 а, определяем из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для узла 2:

А.

9. Ток в схеме цепи, приведенной на рисунке 2.114 а, определяем из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для контура 1421:

А.

10. Ток в схеме цепи, приведенной на рисунке 2.114 а, определяем из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для узла 4:

А.

11. Ток в ветви с источником ЭДС в схеме цепи, приведенной на рисунке 2.114 а, определяем из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для узла 1:

А.

12. Проверяем решение системы уравнений, составив баланс мощностей.

12.1. Мощность, генерируемая источником напряжения:

Вт.

12.2.Мощность приемников:

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Суммарная мощность приемников:

Вт.

12.3. Из сравнения генерируемой мощности источниками и потребляемой мощности приемниками, следует, что погрешность вычислений и не превышает 0,5%.