Расчет разветвленных цепей цепочного типа

В основе метода расчета подобных цепей используются методы преобразования последовательно и параллельно соединенных элементов, а также закон Ома.

 

Пример 2.22. Рассмотрим расчет разветвленной цепи цепочного типа на примере электрической цепи, изображенной на рисунке 2.83, с параметрами: E =200 B, r₁ = 8 Ом, r₂^/ = 5 Ом, r₂^// = 15 Ом, r₃ =8 Ом, r₄ = 10 Ом, r₅ = 20 Ом, r₆ = 30 Ом. Требуется определить токи во всех ветвях электрической цепи, проверить найденные значения токов, составив баланс мощностей.

 

Рисунок 2.83 – Расчетная схема электрической цепи

1. Определяем входное сопротивление всей цепи.

1.1. На первом этапе последовательно соединенные сопротивления и заменяем эквивалентным сопротивлением , а также параллельно соединенные и заменяем эквивалентным сопротивлением :

Ом, Ом.

В результате схема имеет вид, представленный на рисунке 2.84.

 

 

Рисунок 2.84 – Преобразованная электрическая цепь

 

1.2. Последовательно соединенные сопротивления , и заменяем эквивалентным сопротивлением :

Ом.

В результате схема имеет вид, представленный на рисунке 2.85.

 

Рисунок 2.85 – Преобразованная электрическая цепь

 

1.3. Параллельно соединенные сопротивления и заменяем эквивалентным сопротивлением :

Ом.

В результате схема имеет вид, представленный на рисунке 2.86.

 

 

Рисунок 2.86 – Преобразованная электрическая цепь

 

1.4. Определяем входное сопротивление всей цепи:

Ом.

2. Определяем токи в ветвях. С этой целью используем закон Ома.

2.1. Ток А.

2.2. Определяем токи , и . Для их определения необходимо предварительно определить напряжение (рис. 2.85).

2.2.1. Из схемы, приведенной на рисунке 2.86, следует

В, или

В.

2.2.2. Тогда токи в ветвях:

А;

А, или

А.

2.3. Определяем токи и . Для их определения необходимо предварительно определить напряжение (рис. 2.83).

2.3.1. Из схемы, приведенной на рисунке 2.84, следует

В, или

В.

2.3.2. Тогда токи в ветвях:

А;

А, или

А.

3. Проверяем решение, составив баланс мощностей.

3.1. Мощность, генерируемая источником питания:

Вт.

3.2. Мощность, потребляемая приемниками:

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт.

Суммарная мощность, потребляемая приемниками:

Вт.

3.3. Из сравнения генерируемой мощности источниками и потребляемой мощности приемниками, следует, что погрешность вычислении и не превышает 0,5%.

Пример 2.23. Рассмотрим расчет разветвленной цепи цепочного типа на примере электрической цепи, изображенной на рисунке 2.87, с параметрами: E =21 B, r₁ =100 Ом, r₂ =200 Ом, r₃ =50 Ом, r₄ =150 Ом, r₅ =75 Ом, r₆ =300 Ом. Требуется определить токи во всех ветвях электрической цепи, проверить найденные значения токов, составив баланс мощностей.

 

 

Рисунок 2.87 – Расчетная схема электрической цепи

1. Определяем входное сопротивление всей цепи.

1.1. На первом этапе параллельно соединенные сопротивления и заменяем эквивалентным сопротивлением , а также параллельно соединенные и заменяем эквивалентным сопротивлением :

Ом, Ом.

В результате схема имеет вид, представленный на рисунке 2.88.

 

 

Рисунок 2.88 – Преобразованная электрическая цепь

 

2.2. Последовательно соединенные сопротивления и заменяем эквивалентным сопротивлением :

Ом.

В результате схема имеет вид, представленный на рисунке 2.89.

 

Рисунок 2.89 – Преобразованная электрическая цепь

 

2.3. Параллельно соединенные сопротивления и заменяем эквивалентным сопротивлением :

Ом.

В результате схема имеет вид, представленный на рисунке 2.90.

 

 

Рисунок 2.90 – Преобразованная электрическая цепь

 

2.4. Определяем входное сопротивление всей цепи:

Ом.

3. Определяем токи в ветвях. С этой целью используем закон Ома.

2.1. Ток мА.

2.2. Определяем токи , и . Для их определения необходимо предварительно определить напряжение .

2.2.1. Из схемы, приведенной на рисунке 2.90, следует

В, или

В.

2.2.2. Тогда токи в ветвях:

мА;

мА,

мА, или

мА.

2.3. Определяем токи и . Для их определения необходимо предварительно определить напряжение (рис. 2.87).

2.3.1. Из схемы, приведенной на рисунке 2.88, следует

В, или

В.

2.3.2. Тогда токи в ветвях:

мА;

мА, или

мА.

3. Проверяем решение, составив баланс мощностей.

3.1. Мощность, генерируемая источником питания:

Вт.

3.2. Мощность, потребляемая приемниками:

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт.

Суммарная мощность, потребляемая приемниками:

Вт.

3.3. Из сравнения генерируемой мощности источником и потребляемой мощности приемниками, следует, что погрешность вычислении и не превышает 0,5%.

2.5.2. Взаимное преобразование схем с источником напряжения и с источ­ником тока

Ранее были рассмотрены схемы с взаимным преобразованием схем с источником тока и источником напряжения (рис. 2.91)

 

 

Рисунок 2.91 – Эквивалентные схемы источников энергии –

с источником напряжения а) и источником тока б)

 

Обе схемы источников электрической энергии являются эквивалентными.

 

Пример 2.24. Рассмотрим замену источника напряжения источником тока на примере простейшей электрической цепи представленной на рисунке 2.92 с параметрами E =20 B, r_в =10 Ом, r_н = 90 Ом. Требуется определить токи во всех ветвях электрической цепи с источником и напряжения и замененной электрической цепи с источником тока, проверить найденные значения токов, составив баланс мощностей.

 

 

Рисунок 2.92 – Электрическая цепь с источником напряжения

 

Последовательное соединение источника напряжение с ЭДС и внутреннним сопротивлением r_в можно заменить параллельным соединением источника тока с внутренней проводимостью g_в. Ток источника тока равен:

А.

Внутренняя проводимость источника тока равна:

См.

После преобразования схема будет иметь вид, представленный на рисунке 2.93.

 

 

Рисунок 2.93 – Электрическая цепь с источником тока

 

1. Определяем параметры и составляем баланс мощностей схемы, приведенной на рисунке 2.92.

1.1. Ток в цепи равен

А.

1.2. Напряжение на нагрузке r_н, равное напряжению на выводах

источника напряжения

В.

1.3. Мощность, генерируемая источником питания:

Вт.

1.4. Мощность, потребляемая приемником:

Вт.

1.5. Из сравнения генерируемой мощности источником и потребляемой мощности приемником, следует, что погрешность вычислении и не превышает 0,5%.

 

2. Определяем параметры и составляем баланс мощностей схемы, приведенной на рисунке 2.93.

1.1. Ток в цепи равен

А.

1.2. Напряжение на нагрузке r_н, равное напряжению на выводах

источника тока

В.

1.3. Ток на снутренней проводимости источника тока

А, или

А.

1.4. Мощность, генерируемая источником тока:

Вт.

1.5. Мощность, потребляемая приемником:

Вт.

1.6. Из сравнения генерируемой мощности источником и потребляемой мощности приемником, следует, что погрешность вычислении и не превышает 0,5%.

 

 

2.5.3. Преобразование электрических цепей, в которых источник тока охватывает несколько ветвей

 

Допустим, имеется часть электрической схемы, представленная на рисунке 2.94, в которой выделены узлы 1, 2, 3 и 4.

 

 

Рисунок 2.94 – Электрическая цепь

Между узлами 1 и 4 включен источник тока. Необходимо избавиться от ветви с источником тока с целью уменьшения количества ветвей. Преобразования должны быть эквивалентными, т.е. с сохранением основных энергетических соотношений (например, баланс мощности, законы Кирхгофа).

На первом этапе источник тока разобьем на три источника тока, подсоединенных между 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4 узлами (рис. 2.95).

 

 

Рисунок 2.95 – Эквивалентная электрическая цепь после переноса

источника тока

 

Эти измененния касаются 2 и 3 узла. Они эквивалентны, т.к. к каждому узлу мы подсоединили по две ветви с источниками тока . По первому закону Кирхгофа соотношения выполняются, второй закон Кирхгофа мы не изменяли.

На следующем этапе параллельно подсоединенные источники тока, заменяем источниками напряжения: , , .

В результате электрическая схема, приведенная на рисунке 2.74, уменьшится на одну ветвь (рис. 2.96).

 

Рисунок 2.96 – Эквивалентная электрическая цепь

Пример 2.25. Рассмотрим преобразование электрических цепей, в которых источник тока охватывает несколько ветвей, на примере электрической цепи, рассматриваемой в примере 2.3 и приведенной рисунке 2.97, параметры которой J_k3 = 3 А, Е₂ = 50 В, Е₅ = 60 В, r₁ = 6 Ом, r₂ = 10 Ом, r₄ = 8 Ом, r₅ = 10 Ом, r₆ = 5 Ом.

 

 

Рисунок 2.97 – Электрическая цепь постоянного тока

 

1. Осуществляем предварительный анализ схемы.

Количество ветвей – , количество узлов – .

2. Применяем преобразование электрических цепей, в которых источник тока охватывает несколько ветвей. В результате схема приобретает вид, представленный на рисунке 2.98.

 

 

Рисунок 2.98 – Эквивалентная электрическая цепь постоянного тока

 

3. Параллельно подсоединенные источники тока, заменяем источниками напряжения и , которые соответственно равны:

В,

В.

В результате схема приобретает вид, представленный на рисунке 2.99.

 

 

Рисунок 2.99 – Эквивалентная электрическая цепь постоянного тока

 

В результате электрическая схема, приведенная на рисунке 2.99, уменьшилась на три ветви и два узла.

4. Применяя свойства последовательного соединение резистивных элементов и последовательного соединение ЭДС, для электрической цепи, изображенной на рисунке 2.99, получим эквивалентную электрическую цепь постоянного тока, представленную на рисунке 2.100.

 

 

Рисунок 2.100 – Эквивалентная электрическая цепь постоянного тока

 

На приведенной схеме,

Ом,

Ом,

В,

В.

5. Рассчитываем токи в эквивалентной электрической цепи постоянного тока.

5.1. Осуществляем предварительный анализ схемы.

Количество ветвей – , количество узлов – .

5.2. Рассчитываем токи в ветвях методом узловых потенциалов.

Потенциал четвертого узла принимаем равным нулю: . Следовательно, необходимо определить потенциал .

5.2.1. Составляем уравнение для определения потенциала :

.

5.2.1.1. Подставляем числовые значения и находим потенциал .

5.2.1.2. Сумма проводимостей ветвей, подключенных к соответствующим узлам:

См;

Узловые токи

А.

5.2.1.3. После подстановки цифровых значений, определяем потенциал : В.

5.2.2. Определяем токи в ветвях электрической цепи, приведенной на рисунке 2.100.

А,

А,

А.

5.2.3. Используя второй закон Кирхгофа, определяем токи и в электрической цепи, приведенной на рисунке 2.99.

А;

А.

Токи в ветвях, рассчитанные в примерах 2.3 и 2.25 совпадают.