Вопрос 49. Технология параметрической версии мнк –уравнивания геод измерений.

Вопрос 49. Технология параметрической версии МНК –уравнивания геод измерений.

1. Моделирование

Y=F(x),Y^o, E=(Y⁰)=Y, Q_y0, X⁰

2. Линеаризация

AX + L = V

3.

Нормализация

RX_i +G = 0

 

 

 

 

 

6. Уравнивание

X = X⁰ + X_i

Y = Y⁰ + V_i

5.

МНК-оценивание

V_i = AX + L

4.

Решение НУ

X_i = - R^-1G

Так как наши высокоточные измерения могут иметь не линейную систему уравнений (1), мы преобразуем измерения путем разложения ур-й в ряд Тейлора (2), где число ур-й меньше числа неизвестных. По поправкам преобразуют в систему нормальных ур-й (3) и находят X_i (4). Через X_i вычисляют поправки V_i (5). И тогда только уравнивают коор-ты X,Y.

Оценка точности по материалам способа производится: берем поправки из (5) и по формуле (Оц1). С помощью этого метода можно найти наиболее надежное значение измеряемых величин и параметров. Оценить точность измерений по дисперсии единицы веса s²  = m². Оценить точность наиболее надежное значение измеряемых величин и параметров при нахождения ковариационных матриц.

 

Вопрос 50. СКО результата измерений и функции измеренных величин.

В геодезии искомые величины находят вычислениями как функции измеренных величин. Ошибка функции зависит от ошибок аргументов, по которым она вычислена, и от вида функции. Истинные ошибки измеренных аргументов остаются неизвестными, и истинные ошибки функции могут быть найдены лишь в случаях, когда известна теоретическая величина функции (сумма углов треугольника). В этих случаях ошибку функции м получить как разность между величиной функции, вычисленной с измеренными значениями аргумента, и ее теоретической величиной. Эта разность наз. невязкой.

При вычислении СКО функции по известным СКО аргументов могут встретиться 2 случая: коррелированные и некоррелированные аргументы. Две или несколько случайных величин называют коррелированными, если коэффициенты корреляции парной статистической связи не равны нулю; в противном случае они некоррелированные.

Пусть дана функция F=f(x,y,z.....u), где x,y,z...u – коррелированные аргументы, полученные из наблюдений с СКО m_x, m_y,....,m_u соответственно. Предположим что X, Y, Z,...,U – истинные значения аргументов. Необходимо определить СКО m_F функции F. Пусть Θ_x Θ_y Θ_z...Θ_u – истинные ошибки аргументов, т.е. , тогда истинная ошибка функции будет Определим СКО функции через математическое ожидание квадрата ее истинной ошибки, т.е.

Значения производных по соответствующим аргументам практически остаются постоянными и могут быть вычислены по приближенным значениям аргументов x₀, y₀, z₀...u₀, в качестве которых можно взять любые результаты измерений.

Из корреляционного анализа известно что коэффициент корреляции

Окончательно имеем: 

 

Для практического использования формулы коэффициенты корреляции должны быть определены из специальных исследований.

При организации наблюдений одно из основных требований – обеспечение таких условий при которых результаты многократных измерений одной и той же величины или разных величин, по возможности, были бы между собой независимыми. Любая методика геодезических измерений в той или иной мере рассчитана на выполнение этого требования.

Т.к. для некоррелированных аргументов коэффициенты корреляции равны нулю, то

Т.о., СКО функции некоррелируемых аргументов равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных функций по каждому из аргументов на СКО соответствующих аргументов.