Основные сведения о матрице.. Операции над матрицами.

▲ 1 Основные сведения о матрице.

1 Основные сведения о матрице.
Матрицей размера mxn (читается m на n)называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A, B, C,…
Для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойным индексом, например: aij, где i - номер строки, j - номер столбца. Виды матриц. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)- строкой, а из одного столбца - матрицей (вектором)- столбцом Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n. Элементы матрицы aij, у которых номер столбца равен номеру строки называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы a11, a22,…,ann.
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

▲ 2 Операции над матрицами.

2 Операции над матрицами.
1.Умножение матрицы на число. Произведение матрицы А на число λ называется матрица B= λ A, элементы которой bij= λ aij для i=1,2,…m; j=1,2,…n
Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица.
2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера mx называется матрица С=А+В, элементы которой cij=aij+bij для i=1,2,…m; j=1,2,…n (т.е. матрицы складываются поэлементно).
3. Вычитание матриц. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: A-B=A+(-1)∙B.
4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц Amx∙B kx называется такая матрица Cmx, каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:
5. Транпонирование-переход от матрицы А к матрице А^T,в кот. Строки поменялись местами с сохранением порядка при этом матрица наз трасного матр. А. Aij^T=Aji
а) A+B=B+A;
б)(A+B)+C=A+(B+C);
в)λ (A+B)= λA+ λB;
г)A(B+C)=AB+AC;
д)(A+B)C=AC+BC;
е)λ (AB)=( λA)B=A(λB);
ж)A(BC)=(AB)C
Специфические свойства матриц:
a) АВ существует, то после перестановки сомножителей местами произведение матриц ВА может и не существовать.
b) АВ и ВА существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.