Фундаментальные системы решений для СЛУ.

▲ 15 Фундаментальные системы решений для СЛУ.

15 Фундаментальные системы решений для СЛУ.
ФСР - максимальное число линейно независимых решений системы...обычно получаем его когда в системе число переменных больше числа уравнений. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ — “соотношение вида:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 0,
где a1, a2, ..., an — числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля; x1, x2, ..., xn — те или иные математические объекты, для которых определены операции сложения и умножения на число”38. Термин объясняется тем, что величины x1, ..., xn входят в данное соотношение в 1-й степени, т. е. линейно.
Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

▲ 16 Собственные значения и собственные векторы матрицы.

16 Собственные значения и собственные векторы матрицы.
Собственные значения линейного преобразования или оператора А, числа l, для которых существует ненулевой вектор х такой, что Ах = lх; вектор х наз-ся собственным вектором. Так, Собственные значения дифференциального оператора L (y) с заданными краевыми условиями служат такие числа l, при которых уравнение L (y) = lу имеет ненулевое решение, удовлетворяющее этим краевым условиям. Например, если оператор L (y) имеет вид у’’, то его Собственные значения при краевых условиях y (0) = у (p) = 0 служат числа вида ln = n2, где n — натуральное число, т.к. уравнению — у’’ = n2у с указанными краевыми условиями удовлетворяют функции уп = sin nx; если же ln 1 n2 ни при каком натуральном n, то уравнению —у’’ = lу при тех же краевых условиях удовлетворяет только функция у (х) o 0. К изучению Собственные значения линейных операторов приводят многие задачи математики, механики и физики (аналитической геометрии и алгебры, теории колебаний, квантовой механики и т.д.).
Собственные значения м-ы ) наз-ют Собственные значения соответствующего ей линейного преобразования n-мерного комплексного пространства. Их можно определить также как корни определителя м-ы А — lЕ (где Е — единичная м-а)