Линейная зависимость и независимость векторов.

▲ 11 Линейная зависимость и независимость векторов.

11 Линейная зависимость и независимость векторов.
опр. Система ненулевых векторов ā 1, ā 2, …, ā k наз-ся линейно зависимой, если сущ. такие числа λ1, λ2, …, λk не равные одновременно нулю, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору:
λ1ā1+ λ2ā2+…+ λkāk= Ō
опр. Если же данное равенство для данной системы векторов возможно лишь при λ1= λ2=…= λk=0, то такая система векторов наз-ся линейно независимой.
1.Система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно независима.
2.Система, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима.
3.Система, содержащая более одного вектора линейно зависима т.и т.т., когда среди ее векторов содержится по крайней мере один вектор, кот. линейно выражается через остальные.

▲ 12 Базис и ранг системы векторов.

12 Базис и ранг системы векторов.
Пусть задана система векторов a1, a2, ..., am (1)
Выделим из этой системы подсистему ai1, ai2, ..., air (2), где числа i1, i2, ir - какие-то из чисел от (1; m). Подсистема (2) является максимальной линейно независимой подсистемой или базисом системы (1), если векторы системы (2) линейно независимы, а любой вектор системы (1) является их линейной комбинацией.
Пример: e1и e2 являются базисом всех двухмерных векторов (e1 по оси 0x, а e2 по оси 0y).
A= c1e1+ c2e2.
В одной и той же системе векторов может быть несколько базисов, но число векторов в каждом базисе одно и то же.
Два различных базиса одной и той же системы векторов содержит одинаковое количество векторов.
Рангом системы векторов называется число векторов в любом базисе системы, т.е. рангом системы векторов является максимальное число линейно независимых векторов системы.
Ранг «r» R2= 2. Система, состоящая более чем из n n-мерных векторов линейно зависима. Отсюда следует, что базис любой системы векторов состоит из конечного числа векторов и оно не превосходит n.
Rn будет иметь максимальное число линейно независимых векторов n (размерность - n). Любой базис n-мерного векторного пространства содержит n векторов