Определители квадратных матриц.

3 Определители квадратных матриц.
Важнейшей числовой характеристикой квадратной матрицы является определитель, который для матрицы An,n обозначается следующим образом:
Размерность матрицы, для которой ищется определитель, задает его порядок.
Если квадратная матрица имеет определитель, отличный от нуля (Δ ≠ 0), то говорят, что матрица невырожденная, в противном случае - матрица вырожденная или особая.
Оказывается, что определитель равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения.
Алгебраическое дополнение элемента aij задается выражением: Aij=(-1)i+j*Mij
Т. е., минор Mij элемента aij берется со своим знаком, если сумма его индексов четна, и с обратным, если сумма нечетна. Минором элемента определителя aij n-го порядка называется определитель порядка (n-1), полученный из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, в которых находится этот элемент (i-ой строки и j-го столбца).
Определитель первого порядка равен тому единственному элементу, из которого состоит соответствующая матрица.
что определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали. Перечисленные ниже свойства рекомендуется использовать при вычислении определителей.
1. Общий множитель любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя.
2. Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то величина определителя не изменится.
3. Если в определителе есть нулевая строка (столбец), то определитель равен нулю.
4. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.
5. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.