Аксиома полноты действительных чисел. Бином Ньютона.

Непреры́вность действи́тельных чи́сел — свойство системы действительных чисел, которым не обладает множество рациональных чисел. Иногда вместо непрерывности говорят о полноте системы действительных чисел ^[1]. Существует несколько различных формулировок свойства непрерывности, наиболее известные из которых: принцип непрерывности действительных чисел по Дедекинду, принцип вложенных отрезков Коши — Кантора, теорема о точной верхней грани. В зависимости от принятого определения действительного числа, свойство непрерывности может либо постулироваться как аксиома — в той или иной формулировке, либо доказываться в качестве теоремы^[2].

                                       Аксиома непрерывности

Следующее предложение представляет собой, пожалуй, наиболее простую и удобную для приложений формулировку свойства непрерывности действительных чисел. При аксиоматическом построении теории действительного числа данное утверждение, или эквивалентное ему, непременно входит в число аксиом действительного числа ^[3].

 

                             Бином Ньютона

Бином Ньютона — формула разложения произвольной натуральной степени двучлена (a+b)n в многочлен. Каждый из нас знает наизусть формулы «квадрата суммы» (a+b)62 и «куба суммы» (a+b)3, но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности. Чтобы не совершить ошибку и применяется формула бинома Ньютона:

или

 

 

 

 

6. (Принцип Архимеда). Каково бы ни было вещественное число a, существует натуральное число n такое, что a < n.

Доказательство.► Допустим, что утверждение теоремы неверно, то есть существует такое число  , что выполняется неравенство n ≤  для всех натуральных чисел n. Разобьем множество вещественных чисел на два класса: в класс B отнесем все числа b, удовлетворяющие неравенству n ≤ b для любых натуральных n. Этот класс не пуст, так как ему принадлежит число  . В класс A отнесем все оставшиеся числа. Этот класс тоже не пуст, так как любое натуральное число входит в A. Классы A и B не пересекаются и их объединение составляет множество всех вещественных чисел.

Если взять произвольные числа a ∈ A и b ∈ B, то найдется натуральное число  такое, что a <  ≤ b, откуда следует, что a < b. Следовательно, классы A и B удовлетворяют принципу Дедекинда и существует число α, которое порождает сечение  , то есть α является либо наибольшим в классе A, либо наименьшим в классе B. Если предположить, что α входит в класс A, то можно найти натуральное  , для которого выполняется неравенство α <  . Так как  тоже входит в A, то число α не будет наибольшим в этом классе, следовательно, наше предположение неверно и α является наименьшим в классе B.

С другой стороны, возьмем число α−1, которое входит в класс A. Следовательно, найдется натуральное число  такое, что α − 1 <  , откуда получим α <  + 1. Так как + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства следует, что α ∈ A. Полученное противоречие доказывает теорему.◄

Следствие. Каковы бы ни были числа a и b такие, что 0 < a < b, существует натуральное число n, для которого выполняется неравенство na > b. ►Для доказательства достаточно применить принцип Архимеда к числу b/a и воспользоваться свойством неравенств.◄

Это следствие имеет простой геометрический смысл - каковы бы ни были два отрезка, если на большем из них, от одного из его концов последовательно откладывать меньший, то за конечное число шагов можно выйти за пределы большего отрезка.

 

 

 Теорема о существовании целой части числа.

 

 

 

Ограниченные множества.

 

Множество  называется ограниченным сверху, если , то есть все элементы множества  лежат левее .

Множество  называется ограниченным снизу, если , то есть все элементы множества  лежат правее .

 

Множество  называется ограниченным, если .

 

 Верхняя и нижняя грани множеств.

Ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних границ, среди которых особенную роль играет наименьшая из них. Число называется точной верхней гранью (границей), если:

 для

 для  (любое число меньшее M верхней гранью не является).

 ( — супремум ).

Число  называется точной нижней гранью (границей), если:

 для

 для  (любое число меньшее M верхней гранью не является).

 ( — инфимум ).

(если множество   неограниченой сверху, то пишем если множество   неограниченой снизу, то пишем )

Примечание: если  не является точной верхней гранью множества   и , тогда

если  не является точной нижней гранью множества   и , тогда

 Теорема Вейерштрасса.

Теорема (первая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем. Доказательство: методом от противного, воспользуемся свойством замкнутости сегмента [a;b]. Из любой последовательности (xn) этого сегмента можем выделить подпоследовательность xnk, сходящуюся к x0∈[a;b]. Пусть f не ограничена на сегменте [a;b], например, сверху, тогда для всякого натуральногоn∈N найдется точка xn∈[a;b], что f(xn)>n. Придавая n значения 1,2,3,{\ldots}, мы получим последовательность (xn)точек сегмента [a;b], для которых выполнено свойство f(x1)>1,f(x2)>2,f(x3)>3,...,f(xn)>n... Последовательность (xn) ограничена и поэтому из нее по теореме можно выделить подпоследовательность(xnk), которая сходится к точке x0∈[a;b]: limk→∞xnk=x0 (1) Рассмотрим соответствующую последовательность (f(xnk)). С одной стороны f(xnk)>nk и поэтому limk→∞f(xnk)=+∞ (2), С другой стороны, учитывая определение непрерывной функции по Гейне из (1) будем иметьlimk→∞f(xnk)=f(x0) (3) Получаем равенства (2) и (3) противоречат теореме (о единственности предела). Это противоречие и доказывает справедливость теоремы. Аналогично доказывается ограниченность функции снизу. Ч.Т.Д.

Замечание 1 Таким образом, если f непрерывна на [a;b], то ее множество значений ограничено и поэтому существует конечные верхняя и нижняя грань функции.c=infx∈[a;b]f(x),d=supx∈[a;b]f(x), но открыт вопрос о достижении функции своих граней. Замечание 2 Если слово сегмент в условии теоремы заменить словом интервал или полуинтервал, то теорема может и нарушиться. Пример, y=tgx,tgx∈C((−2π;2π)), но функция не ограничена на этом интервале.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения). Доказательство: Пусть f(x)∈C([a;b]), c=infx∈[a;b]f(x), d=supx∈[a;b]f(x). По первой теореме Вейерштрасса c,d∈R. Докажем, что f достигает на [a;b] своих граней, т.е. найдутся такие точки x1,x2∈[a;b], чтоf(x1)=c,f(x2)=d. Докажем, например, существование точки x2.

По определению верхней грани имеем (∀x∈[a;b])(f(x)=d). Предположим противное, т.е. точки x2, в которой f(x2)=dна [a;b], тогда на [a;b] выполняется условиеf(x)<d или d−f(x)>0. Далее введем вспомогательную функцию ϕ(x)=1d−f(x). ϕ(x) на [a;b] положительна и непрерывна (как отношение двух непрерывных на [a;b] функций и d−f(x)/=0), поэтому по первой Т. Вейерштрасса ϕ(x) на [a;b]ограничена. Это означает, что при некотором М>0 (∀x∈[a;b])(0<1d−f(x)≤M), отсюда имеем f(x)≤d−1M<d. Полученное неравенство противоречит тому, что d является верхней гранью функции f(x) на [a;b], т.е. наименьшим из верхних границ. Полученное противоречие и означает существование точки x2 такой, чтоf(x2)=d.

Аналогично доказывается существование точки x1∈[a;b], такой что f(x1)=c.

Следствие Если f непрерывна и непостоянна на [a;b], то образ этого отрезка [a;b] при отображении f будет так же отрезок, т.е. непрерывный непостоянный образ отрезка есть отрезок. Доказательство: В самом деле образом отрезка [a;b] при отображении f будет отрезок [с;d], где c=inf[a;b]f(x)=min[a;b]f(x), а d=sup[a;b]f(x)=max[a;b]f(x), что следует из второй теоремы Больцано-Коши и второй теоремы Вейерштрасса Ч.Т.Д.

 Абсолютная величина.

Абсолютными величинами называются — объем или размер события, которое изучается или явления, процесса, который выражен в соответствующих единицах измерения в конкретных условиях места и времени.Или, другими словами: это просто число без учёта знака (всегда с плюсом).

Абсолютное значение величины - это само число (без знака), как например: температура, давление, скорость и т. п. Модуль - это число без направления, например: давление, скорость, сила и т. п.

Абсолютная величина числа или модуль числа x — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x. Обозначается: |x|.

Если x вещественный, то абсолютная величина – это непрерывная кусочно-линейная функция, которая определяется так, формула:

 

 

Обобщением этого понятия есть модуль комплексного числа z=x+iy, иногда называют абсолютной величиной. Его определяют формулой:

 

Абсолютные величины, виды:

● Индивидуальная абсолютная величина — характеризует единицу совокупности,

● Суммарная абсолютная величина — характеризует группу единиц или всю совокупность.

 

 

 

 8. Метрические и арифметические пространства.

Метрическое пространство - это пара (  ), Состоящая из некоторого множества  элементов и расстояния  , Определенной для любой пары элементов этого множества.

Формальное определение

Метрическим пространством называется пара  , Состоящая из некоторого множества элементов  и расстояния  , А именно однозначной, неотъемлемой, действительной функции  , Определенной для  , Которая удовлетворяет следующие 3 аксиомы:

1.  (Аксиома тотожости).

2.  (Аксиома симметрии).

3.  (неравенство треугольника).

Неотъемлемость приходится с помощью следующих соображений: