Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.
Для функции f(x), имеющей (конечный) предел при x → x0 существует проколотая окрестность этой точки, на которой данная функция ограничена. Доказательство. Пусть Тогда для положительного числа 1 найдется δ > 0 такое, что при 0 < |x — x0| <δ выполняется неравенство |f (x) — a| < 1. Отсюда |f(x)| = |f(x) — a + a| ≤|f(x) — a| + |a| < 1 + |a|, т.е. |f(x)| < 1 + |a|, и мы видим, что f (x) ограничена в проколотой δ-окрестности (x0 — δ, x0) U (x0, x0 + δ) точки x0. Теорема доказана.
Теорема о сохранение неравенств. Теорема о необходимом условии существования конечного предела последовательности.Бесконечный предел последовательности, бесконечно большие последовательности, бесконечно малые последовательности. Предельный переход в неравенствах Теорема 1. Если функция имеет предел при , равный А и в некоторой проколотой окрестности точки a принимает неотрицательные значения, то . Доказательство. Будем доказывать методом от противного. Допустим, что . Возьмем . Тогда откуда Получаем, что для любого из пересечения проколотых окрестностей и одновременно выполняются неравенства и . Тем самым мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Теорема 2. Если для двух функций и , имеющих пределы, соответственно, и , в некоторой проколотой окрестности выполняется неравенство , то . Доказательство. Обозначим . При этом для любого выполнено неравенство . По теореме 3.4.1 имеем , т.е. . Теорема доказана. Замечание: Эти две теоремы означают, что при переходе к пределу сохраняется нестрогое неравенство. Замечание: строгое неравенство между функциями может не сохраниться для пределов этих функций. Например, для функций , в любой выполняется неравенство , т.е. . Однако,
Теорема о необходимом условии существования конечного предела последовательности Теорема 3 (о локальной ограниченности). Для существования конечного предела функции в точке необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) функция была ограничена. Теорема 4 (о локальном повторении функцией свойств предела). Для существования в точке конечного предела необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) . Достаточные условия существования конечного предела функции.
Теорема 5 (об арифметике). Если для и существуют конечные пределы, то для их суммы и произведения также существуют конечные пределы, причем: ; . Если , то существует конечный предел частного: . (если нужно доказательство теоремы 5: https://studfiles.net/preview/3103010/)
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-09-25; просмотров: 946; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.131.238 (0.006 с.) |