Метрические пространства и аксиомы зличенности

1. Любой метрическое пространство удовлетворяет второй аксиоме зличенности.

Доказательство

Пусть  - Произвольная точка метрического пространства  , Тогда в качестве Счетное определяющей системы окрестностей можно взять шары  .

Тогда для каждой предельной точки найдется совпадающая последовательность точек из этого множества.

2. Если метрическое пространство сепарабельних, он удовлетворяет второй аксиоме зчисленности.

Доказательство

Счетное базу топологии такого пространства образуют, например, следующие открытые шары:  , Где  - Счетное всюду плотная множество, а переменные пробегают все натуральные числа независимо друг от друга.

Теорема о вложенных отрезках.

Пусть на числовой оси R задано некоторое множество промежутков Gn, n=1,2,..., удовлетворяющих условию

G1⊃G2⊃...⊃Gn⊃...

Такое множество называют системой вложенных промежутков.

Множество, состоящее из всех точек, принадлежащих каждому из множеств  Gn, называется пересечением множеств  Gn  и обозначается ⋂nGn.

Так как система вложенных полуинтервалов может не иметь общей точки. Очевидно, что и система вложенных интервалов может не иметь ни одной общей точки. Если же рассматриваемые промежутки являются отрезками, общая точка всегда существует; это составляет содержание следующего предложения:

Теорема. Для любой системы G вложенных отрезков [a1, b1]⊃[a2, b2]⊃...⊃[an, bn]⊃... существует отрезок  [ξ, η], принадлежащий всем отрезкам системы  G.

Доказательство. Пусть  E={an}− множество левых и  F={bn}− множество правых концов отрезков системы  G. Для любых двух отрезков  [an, bn]⊃[am, bm]  системы  G  имеем  an≤am≤bm≤bn, так что для любых номеров  m  и  n   am≤bn. Из 6.3 (2) следует, что ∃ [ξ=sup E]&[η=inf F], причем  ξ≤η. Для любого  [an,bn]∈Gимеем an≤ξ≤η≤bn, так что [an,bn]⊃[ξ,η], откуда и ⋂n[an, bn]⊃[ξ, η]. Нетрудно убедиться, что  ⋂n[an,bn]  состоит только из точек отрезка  [ξ, η]: для любой точки  x, не принадлежащей отрезку  [ξ, η], например, для x<ξ, найдется левый конец  an, для которого x<an≤ξ=sup{an}, и, следовательно,  x не принадлежит соответствующему отрезку  [an, bn]. Если  ξ=η, то, говоря об отрезке  [ξ, η], подразумевают точку  ξ=η.

Теорема. Пересечение системы  G  вложенных отрезков состоит из одной единственной точки тогда и только тогда, когда для любого  ϵ>0  в системе  G  имеется отрезок  [an, bn] длины  bn−an<ϵ.

Доказательство. По принципу Кантора пересечением отрезков системы  G  является отрезок  [ξ, η], который сводится к одной точке, если  ξ=η. Если  ξ≠η, то длина каждого отрезка  [an, bn]⊃[ξ, η]  системы  G  не меньше, чем  η−ξ; поэтому если в системе  G имеются отрезки произвольно малой длины, то их пересечением является одна точка.

Обратно, поскольку

η=inf{bn| [an, bn]∈G}, ξ=sup{an| [an, bn]∈G},

в системе G для заданного ϵ>0 есть отрезок [ap, bp], для которого ap>ξ−ϵ/2, и отрезок [aq, bq], для которого bq<η+ϵ/2. Если, например, [ap, bp]⊃[aq, bq], то мы имеем

aq≥ap>ξ−ϵ/2, bq<η+ϵ/2.

Если  ξ=η, то  bq−aq<ϵ, так что в системе  G  имеется отрезок длины  l<ϵ, и теорема доказана.

 

 

 

Общее понятие функции

Определение.

Пусть даны две переменные х и y с областями изменения Х и Y. Переменная y называется функцией от х, если по некоторому правилу или закону каждому значению ставится в соответствие одно определенное значение .

Для указания этого факта, что y есть функция от х, пишут: , , и т.п.

Можно также сказать, что функция f отображает множество Х на множество Y. Это обозначается так (рис.1.1).

Рис. 1.1

Переменная х называется независимой переменной или аргументом.

Переменная y называется зависимой переменной или функцией.

Относительно самих величин х и y говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

 

 (инъективное, сюрьективное и биективное отображения).

Отображение f из Х в Y называется инъективным, если для любых х1, х2 ∈Х из неравенства х1 ≠ х2 следует неравенство f(x1) ≠ f(x2).

Отображение f из Х в Y называется суръективным, если множество значений f(X) совпадает с областью значений Y.

Если использовать понятие полного прообраза, то определение можно сформулировать иначе. Отображение f из Х в Y называется суръективным, если полный прообраз произвольного элемента y∈Y является непустым множеством.

Отображение f из Х в Y называется биективным, если оно суръективно и инъективно одновременно.

Если существует инъективное (соответственно биективное) отображение из Х в Y, то говорят, что мощность Х не больше мощности Y (соответственно мощность Х равна мощности Y).

Частные случаи функций.

 

 

Наименование	Формула	Частные случаи
1.Постоянная
2.Степенная функция	y=x(^a)
3. Показательная функция
4.Логарифмическая функция
5. Тригонометрические функции
6. Обратные тригонометрические функции