Достаточное условие существования экстремума по высшим производным.

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки , и в этой точке существуют производные до n-го порядка пусть , n ≥ 1 и ,  Тогда:

1. Если  (т.е  — четное), то  — точка экстремума:

○ если , то  — точка локального максимума;

○ если , то  — точка локального минимума;

1. Если  (т.е  — нечетное), то  — не является точкой экстремума.

Алгоритм вычисления наибольшего и наименьшего значений функции. Выпуклость и вогнутость функций. Точки перегиба.

1. Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [a;b].

2. Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке [a;b] (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.

3. Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a;b]. Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.

4. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a и x=b.

5. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции соответственно.

Выпуклость и точки перегиба

Пусть функция f определена на интервале (a, b) и пусть a < x₁ < x₂ < b. Проведем прямую через точку А=(x₁, f(x₁)) и В=(x₂, f(x₂))

 

Достаточное условие строгой выпуклости-вогнутости. Необходимый признак точки перегиба.

Асимптоты графика функции.

 

Первообразная (примитивная) функция. Теорема 1 Лемма. Теорема 2. Определение неопределённого интеграла. Геометрический смысл неопределённого интеграла. Теорема существования неопределенного интеграла.

Теорема 2: Если F(x) первообразная для f(x) на интервале (a, b), то F(x)+c включает в себя все первообразные для f(x) на (a, b), где с принадлежит R и с - произвольная постоянная.

Доказательство: F(x) и Ф(x) — первообразные для f(x) на (a, b)

 F’(x) = f(x) Ф’(x) = f(x)

F’(x)  Ф’(x) = 0, следовательно (F(x)  Ф(x))’ = 0 на интервале (a, b), следовательно по Лемме 1:

F(x)  Ф(x) = c, для любого с принадлежащего R: Ф(x) = F(x)  c

71.Свойства неопределённого интеграла.

72. Замена переменной в неопределённом интеграле. (Теорема 1, Теорема 2).

73.Интегрирование по частям в неопределённом интеграле. Обобщённая формула интегрирования по частям. Вывод рекуррентных формул.

75.Основная теорема алгебры (теорема Гаусса). Теорема о разложении многочлена на неприводимые множители. Теорема о разложении правильной рациональной дроби на сумму элементарных дробей (б/д).

76. Способы определения неопределённых (неизвестных) коэффициентов. Практическое правило разложения правильной рациональной дроби на простые.

77. Интегрирование рациональных функций. Интеграл вида:

78. Интегрирование тригонометрических функций .

79.Интегрирование Интегрирование интегралов вида: , частные случаи подстановок.

80. Интегрирование интегралов вида: , универсальная подстановка, приведение к рациональной дроби более простыми способами.

81. Интегрирование иррациональных функции. Интегралы вида: ,

 

82. Интегрирование выражений, содержащих радикалы

  ; ,

 

83. Интегрирование интегралов вида: ;

 

84. Интегрирование иррациональных функции вида:

;

 

 

85. Вычисление интегралов вида:  , с использованием рационализирующих подстановок Эйлера.

 

86. Метод Остроградского выделения рациональной части интеграла от рациональной дроби.

 

 

87. Метод Остроградского (неопределённых коэффициентов). Интегрирование интегралов вида:

88. Интегрирование иррациональных выражений с помощью тригонометрических подстановок интегралов вида: ;

 

89. Интегрирование биномиальных дифференциалов:

Интегрирование биномиальных дифференциалов

 

 

рационализуется лишь в трех случаях:

1)  подстановка  где k - общий знаменатель m и n;

 

2)  подстановка  где k - знаменатель p;

 

3)  подстановка  где k - знаменатель p.

 

 

90. Интегрирование интегралов вида

 

 

91. Определѐнный интеграл. Интегральная сумма. Задачи, приводящие к определѐнному интегралу.

92.Определение определѐнного интеграла. Геометрический смысл интегральной суммы Римана.

 

93. Необходимые условия существования определѐнного интеграла.

 

94. Теорема Дарбу - необходимое и достаточное условие существования определѐнного интеграла.

 

95. Свойства определѐнного интеграла.

96. Теорема о среднем в определѐнном интеграле. Следствия.