Теорема.(непрерывности композиции двух непрерывных функций)

Пусть f (x) определена на множестве , и . Пусть g(y) определена на множестве L таком, что  и , где , тогда  .

 Док-во: В силу непрерывности  в , для  такое, что при всех y (из области определения функции g(y)), удовлетворяющих неравенству  (1) выполняется неравенство  (2)

 Из непрерывности функции f (x) в (.)  следует, что по найденному >0 можно выбрать такое число   0, что при всех x (из области определения функции f (x)), удовлетворяющих неравенству  (3) выполняется неравенство  (4)

(  - играет роль в определении непрерывности функции f (x)). Полагая , из неравенств (1), (2) в силу (3) и (4) получим, что при  имеет место неравенство , т.е. сложная функция  

39. Свойства функций непрерывных на отрезке. Теоремы Вейерштрасса (без доказательства), Больцано - Коши (без доказательства).

Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке  выполняется условие - .

Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке , ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок  на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке , то образуется некоторая окрестность точки .

Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке , принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Т.е. существуют такие значения  и , что , причем .

Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например - ).

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.

Свойство 3: (Вторая теорема Больцано - Коши). Функция, непрерывная на отрезке , принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

Свойство 4: Если функция  непрерывна в точке , то существует некоторая окрестность точки  , в которой функция сохраняет знак.

Свойство 5: (Первая теорема Больцано - Коши). Если функция  - непрерывная на отрезке  и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где .

Т.е. если , то .

Определение. Функция  называется равноме рно непрерывной на отрезке , если для любого  существует  такое, что для любых точек и  таких, что  верно неравенство .

Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого e существует свое , не зависящее от , а при “обычной” непрерывности  зависит от  и .

Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. (Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)

Свойство 7: Если функция  определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция  тоже однозначна, монотонна и непрерывна.