Рязанов А.Н., Скотаренко В.В., Верник В.В., Верник В.Ю.

Рязанов А.Н., Скотаренко В.В., Верник В.В., Верник В.Ю.

 

Курс лекций по дисциплине «Инженерная графика» раздел «Начертательная геометрия» Методическое пособие. - Луганск.: ЛНАУ, 2012 –107с.

 

 

Приведены лекции по начертательной геометрии.

 

 

Предназначено для студентов инженерных специальностей

 

 

© Луганский национальный аграрный университет, 2012

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ........................................................................................ 6

Принятые обозначения.................................................................... 9

1. Лекция 1. Метод проекций. Эпюр Монжа................................. 11

1.1. Виды проецирования............................................................ 11

1.2. Свойства центральных проекций......................................... 12

1.3. Свойства параллельных проекций....................................... 12

1.4. Метод ортогональных проекций......................................... 12

1.5. Ортогональные проекции точки.......................................... 12

1.6. Вопросы для самопроверки................................................. 14

2.Лекция 2. Ортогональные проекции прямой линии................ 16

2.1. Задание прямой на эпюре..................................................... 16

2.2. Натуральная величина отрезка прямой.............................. 16

2.3. Точка на прямой линии........................................................ 16

2.4. Следы прямой линии............................................................ 17

2.5. Частные положения прямой................................................. 17

2.6. Взаимное расположение двух прямых................................ 18

2.7. Угол между пересекающимися прямыми............................ 20

2.8. Вопросы для самопроверки................................................. 20

3. Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости....................... 22

3.1. Способы задания плоскости в пространстве....................... 22

3.2. Плоскости частного положения........................................... 23

3.3. Проецирующие плоскости................................................... 24

3.4. Плоскости уровня................................................................. 25

3.5. Прямая и точка в плоскости................................................. 26

3.6. Главные линии плоскости..................................................... 26

3.7. Вопросы для самопроверки................................................. 27

4. Лекция 4. Взаимное расположение прямой и плоскости и двух плоскостей 28

4.1. Прямая, параллельная плоскости........................................ 28

4.2.Параллельные плоскости..................................................... 28

4.3. Прямая, перпендикулярная плоскости................................ 29

4.4. Взаимно-перпендикулярные плоскости............................... 30

4.5. Пересечение плоскостей....................................................... 30

4.6. Пересечение прямой с плоскостью...................................... 32

4.7. Вопросы для самопроверки................................................. 33

5.Лекция 5. Способы преобразования проекций.......................... 34

5.1. Общие положения................................................................. 34

5.2. Способ замены плоскостей проекций.................................. 34

5.2. Решение четырёх основных задач методом замены плоскостей проекций...................................................................................... 35

5.3. Типы задач, решаемые способом преобразования плоскостей проекций...................................................................................... 38

5.4. Вопросы для самопроверки................................................. 38

6. Лекция 6. Способ вращения........................................................ 39

6.1. Сущность способа................................................................. 39

6.2. Вращение вокруг горизонтали или фронтали.................... 40

6.3. Плоскопараллельное перемещение...................................... 42

6.4. Вопросы для самопроверки................................................. 43

7. Лекция 7. Кривые линии. Поверхности..................................... 44

7.1. Общие положения. Классификация кривых линий............. 44

7.2 Особые точки плоских кривых............................................. 45

7.3. Плоские кривые.................................................................... 45

7.4. Поверхности. Общие положения......................................... 46

7.5. Классификация поверхностей.............................................. 48

7.6. Линейчатые поверхности...................................................... 48

7.7. Вопросы для самопроверки................................................. 50

8.Лекция 8. Поверхности.................................................................. 51

8.1. Линейчатые поверхности с двумя направляющими........... 51

8.2. Поверхности вращения........................................................ 52

8.3. Принадлежность точки или линии поверхности................. 59

8.4. Вопросы для самопроверки................................................. 60

9.Лекция 9. Пересечение поверхности плоскостью....................... 61

9.1. Общие положения................................................................. 61

9.2. Пересечение поверхности вращения плоскостью............... 66

9.3. Пересечение гранной поверхности плоскостью.................. 66

9.4. Вопросы для самопроверки................................................. 67

10. Лекция 10. Пересечение прямой с поверхностью.................... 68

10.1. Общие положения............................................................... 68

10.2. Пересечение прямой с поверхностью................................ 69

10.3. Вопросы для самопроверки............................................... 70

11. Лекция 11.Взаимное пересечение поверхностей...................... 71

11.1. Общие положения............................................................... 71

11.2. Взаимное пересечение многогранников............................ 72

11.3. Пересечение многогранной поверхности с криволинейной 74

11.4. Вопросы для самопроверки............................................... 75

12. Лекция 12.Пересечение кривых поверхностей........................ 77

12.1. Пример пересечения конуса со сферой............................. 77

12.2. Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка78

12.3. Метод концентрических сфер............................................. 79

12.4. Вопросы для самопроверки............................................... 81

13. Лекция 13. Развёртки поверхностей......................................... 82

13.1. Общие положения............................................................... 82

13.2. Развёртывающиеся поверхности и их свойства................ 82

13.3. Основные графические способы построения развёрток поверхностей............................................................................. 83

13.4. Построение условных развёрток неразвёртывающихся поверхностей вращения....................................................................... 88

13.5. Вопросы для самопроверки............................................... 89

14. Лекция 14. Проекции с числовыми отметками...................... 90

14.1. Сущность метода. Проекции точки................................... 90

14.2. Проекции прямой............................................................... 90

14.3. Взаимное положение двух прямых.................................... 94

14.4. Проекции плоскости........................................................... 96

14.5. Взаимное положение плоскостей....................................... 97

14.6. Точка, прямая и плоскость................................................. 97

14.7. Вопросы для самопроверки............................................... 98

15. Лекция 15. Проекции с числовыми отметками...................... 99

14.7. Поверхности в проекциях с числовыми отметками.......... 99

14.8. Позиционные задачи в проекциях с числовыми отметками............................................................................................... 102

14.9. Вопросы для самопроверки............................................... 106

Список литературы........................................................................ 107

ВВЕДЕНИЕ

Содержание и задачи курса начертательной геометрии.

Трудно указать такой вид человеческой деятельности, где, решая ту или иную техническую или нетехническую задачу, не приходилось бы прибегать к помощи изображений машин и механизмов, планов строений и т.п.

Различны требования, предъявляемые к форме и содержанию изображений. Одни из них должны производить на глаз человека такое же впечатление, какое производит и сам изображаемый предмет, иначе говоря, изображение должно обладать достаточной наглядностью. В другом случае изображение должно быть, в первую очередь, геометрически равноценно оригиналу, оно должно давать полную геометрическую и размерную характеристику изображаемого предмета. Этому требованию должен отвечать, например, всякий машиностроительный чертёж.

Наконец, к изображению могут быть предъявлены оба указанных условия одновременно - наглядность изображения должна сочетаться с геометрической равноценностью оригиналу.

Изображения различных предметов и объектов не являются самоцелью, они дают возможность решать инженеру по ним различные технические задачи.

Однако не всякое изображение может быть использовано для решения технических задач. Для этого оно, в первую очередь, должно быть геометрически равноценно изображаемому объекту, то есть, построено по определённому геометрическому закону. Вопросами исследования геометрических основ построения изображений предметов на плоскости, вопросами решения пространственных геометрических задач при помощи изображений занимается НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Методы начертательной геометрии находят самое широкое применение в объектах изучения самой различной природы: в механике, архитектуре и строительстве, химии, геодезии, геологии, кристаллографии и т.д.

Но наибольшее значение и применение методы начертательной геометрии нашли в различных областях техники при составлении различного вида технических чертежей: машиностроительных, строительных, различного рода карт и т.д.

Начертательная геометрия входит в группу общетехнических дисциплин, составляющих основу всякого инженерного образования. Она учит грамотно владеть выразительным техническим языком - языком чертежа, умению составлять и свободно читать чертежи, решать при помощи чертежей различные инженерно-технические задачи.

Кроме того, изучение начертательной геометрии способствует развитию у студентов пространственных представлений и пространственного воображения - качеств, характеризующих высокий уровень инженерного мышления и необходимых для решения прикладных задач.

В процессе изучения начертательной геометрии достигаются и другие цели, расширяется общенаучный кругозор студентов, развиваются навыки логического мышления, внимательность, наблюдательность, аккуратность и другие качества, развитие которых является одной из задач обучения и воспитания в высшей технической школе.

Предметом начертательной геометрии (в узком смысле) является изучение теории построения плоских моделей пространств и теории и практики решения пространственных задач на таких плоских моделях.

Цели курса:

1. Научить пространственно мыслить и отображать на плоскости трёхмерные геометрические образы (фигуры).

2. Развить способность мысленного восприятия пространственного геометрического образа по его отображению на плоскости, т.е. научить читать чертёж. (Таким образом, решаются две задачи: прямая и обратная. Объёмный предмет отображается на плоскости - прямая задача. По плоскому чертежу представляется объёмная форма предмета - обратная задача. Прочесть чертёж - это представить себе пространственное изображение предмета.)

3. Сообщить знания о методах решения на плоскости пространственных метрических и позиционных задач.

Принятые обозначения

1. Точки, расположенные в пространстве, - прописными буквами латинского алфавита A, В, С, D … или цифрами 1, 2, 3, 4 ...

2. Прямые и кривые линии в пространстве - строчными буквами латинского алфавитам a, b, с, d ...

3. Плоскости - строчными буквами греческого алфавита α, β, γ, δ ...

4. Поверхности - прописными буквами греческого алфавита Φ, Θ, Λ, Σ ...

5. Основные операции над геометрическими образами:

а) совпадение двух геометрических образов ≡ например a ≡ b, А₁≡ B ₁;

б) взаимная принадлежность геометрических образов Î, например А Î а ,  а Î а, B Î β.

в) пересечение двух геометрических образов ∩, например t ∩ α,     α ∩ β;

г) результат геометрической операции =, например К = l ∩ α.

6. Способ задания геометрического образа указывается в скобках рядом с его буквенным обозначением. Например:

а(А, В) - прямая задана двумя точками А и В;

α (А, В, С) - плоскость задана тремя точками А, В, С;

β (а, А) - плоскость задана прямой а и точкой А;

γ (а ∩ b) - плоскость задана пересекающимися прямыми а и b;

δ (l ║ т) - плоскость задана параллельными прямыми l и т.

7. Углы - строчными буквами греческого алфавита φ, ω, ψ.

  Прямой угол обозначается точкой внутри сектора.

8. Особые прямые и плоскости имеют постоянные обозначения:

а) линии уровня: горизонталь - h, фронталь - f;

б) следы плоскости обозначаются той же буквой, что и плоскость, с добавлением подстрочного индекса, соответствующего плоскости проекций – а_П2, β_П1;

в) линии уклона - и, касательная прямая - t, нормаль - п, оси вращения – i, j;

9. Последовательность геометрических образов - надстрочным индексом: точек - А¹, А², А³ …; прямых - а¹, а², а³ …; плоскостей - α ¹, α ², α ³ ...

10.Центр проецирования - прописной буквой латинского алфавита S.

11.Направление проецирования - строчной буквой латинского алфавита s.

12.Плоскость проекций при образовании комплексного чертежа - прописной буквой греческого алфавита П:

горизонтальная - П₁; фронтальная - П₂; профильная - П₃.

13.Новая плоскость проекций при замене плоскостей проекций - буквой П с добавлением подстрочного индекса: П₄; П₅; П₆ ...

14.Проекции точек, прямых и плоскостей - соответствующей буквой с добавлением подстрочного индекса, характеризующего плоскость проекций:

на плоскости П₁ – А₁, a ₁, α₁;

на плоскости П₂ - А₂, а₂ , α ₂;

 на плоскости П₃ - А₃, а₃, α ₃.

15.Оси проекций на комплексном чертеже - х₁₂, у₁₃, у₃₁, z _{23 .}

16.Вторичные проекции - с добавлением подстрочного индекса: А'₁, А'₂, А'_{3 ,}   а'₁, а'₂, а'_3, α'₁, α'₂, α'₃

17.Проекции точек в проекциях с числовыми отметками - той же буквой, что и натура, с добавлением числа, характеризующего расстояние точки до плоскости проекции - А₁₅, В-₂₀, С₀.

18.Масштаб уклона плоскости - той же буквой, что и плоскость, с добавлением индекса i; изображается двойной линией, тонкой и жирной, разделенной на интервалы.

19.Масштабы уклонов плоскостей одинакового уклона, но различного положения к плоскости уровня - одной буквой с добавлением надстрочного индекса: α ¹ _iα ² _i α ³ _i, β ¹ _i, β ² _i,  β ³ _i, γ ¹ _i, γ ² _i,  γ ³ _i.

Виды проецирования.

Начертательная геометрия представляет собой раздел геометрии, в котором геометрические свойства предметов материального мира изучаются при помощи их изображений на плоскости.

В основу построения любого изображения положена операция проецирования, которая заключается в следующем. В пространстве выбирают произвольную точку S в качестве центра проецирования (рис. 1) и плоскость П₁, не проходящую через точку S, в качестве плоскости проекций. Чтобы спроецировать точку А пространства на плоскость П₁, через центр проецирования S проводят луч SA до его пересечения с плоскостью П₁ в точке А₁. Точку А₁ принято называть центральной проекцией точки А, а луч SA — проецирующим лучом.

Широкое применение в практике получил тот случай, когда центр проецирования удален в бесконечность. Проецирующие лучи при этом параллельны между собой и проекции точек, фигур и тел получают название параллельных проекций (рис. 2). Проекцией точки А называют точку А₁ пересечения проецирующего луча АА₁ с плоскостью проекций.

В свою очередь, параллельные проекции подразделяются на косоугольные и прямоугольные. В первом случае плоскость проекций с направлением проецирования образует угол, не равный 90°, во втором — этот угол равен прямому.

 

Рис.1                                                Рис.2

Проекция прямой линии представляет собой совокупность проекций точек этой линии. Такое геометрическое толкование процесса образования изображений соответствует явлениям, имеющим место в природе.

Изображения, получающиеся на сетчатке глаза или на пластинке фотоаппарата, являются центральными проекциями с полюсами в оптическом центре глаза или объектива. Тени, падающие от предметов, освещенных солнцем, представляют параллельные проекции этих предметов, так как центр проекций – солнце, практически можно считать бесконечно удаленной точкой. Очевидно, что изображения, выполненные по способу центрального проецирования, обладают большей наглядностью, чем параллельные проекции, потому что в основе процесса зрения лежит центральное проецирование.

Центральные проекции используются там, где от изображения в первую очередь, требуется наглядность. Параллельные проекции более удобны, когда необходимо получить изображение с возможно меньшими метрическими искажениями. При параллельном проецировании удается, например, получить проекцию отрезка прямой линии или плоской фигуры в натуральную величину и поэтому они находят наибольшее применение в технике и инженерном деле.

1.2. Свойства (инварианты) центральных проекций:

1. Проекция точки – есть точка;

2. Проекция прямой – прямая, кроме прямых, совпадающих с направлением проецирования;

3. Инцидентность (принадлежность) точки прямой – проекция точки, лежащей на прямой, будет лежать на проекции этой прямой К Î АВ; К₁ Î А₁В₁ (рис. 1).

1.3. Свойства (инварианты) параллельных проекций:

Рассмотренные выше 1, 2, 3 свойства центральных проекций присущи и параллельным проекциям, однако есть некоторые свойства только параллельных проекций:

4. Проекции параллельных прямых параллельны:
АВ || СD Þ А₁В₁ || С₁D₁ (рис.2)

5. Проекции отрезков параллельных прямых пропорциональны самим отрезкам, т.е.

6. Если отрезок параллелен плоскости проекций, то длина проекции равна длине самого отрезка.

Чертеж, полученный в результате центрального или параллельного проецирования, называется проекционным чертежом.

Он должен быть:

1. Выразительным, точным, удобоизмеримым;

2. «Обратимым» (построенные на рис. 1, 2 проекции точек и прямых не обладают свойствами обратимости). По ним (только по одним этим проекциям) нельзя установить, где в пространстве расположен сам объект. Например, проекции А₁ будет соответствовать в пространстве множество точек, расположенных на проецирующем луче АА₁. Чтобы сделать изображения однозначными, вполне определяющими положения каждой точки в пространстве, пользуются ортогональными проекциями на две или три плоскости проекций.

Вопросы для самопроверки.

1. В чём заключается операция проецирования точки на плоскость проекций?

2. Какие основные виды проецирования геометрических форм на плоскость Вам известны?

3. Какие виды параллельных проекций вы знаете?

4. Перечислите основные свойства центральных проекций.

5. Перечислите основные свойства параллельных проекций

6.. Что называют ортогональной проекцией точки?

7. Как образуются проекции точки на плоскостях П₁, П₂, П₃?

8. В чём заключается метод построения комплексного чертежа?

9. Что называют координатами точки пространства в декартовой системе координат, и какие координаты на эпюре определяют ее горизонтальную, фронтальную и профильную проекции?

10. Как построить комплексный чертёж точки по её координатам?

Задание прямой на эпюре.

Прямая линия определяется двумя точками. Поэтому прямая считается заданной, если на эпюре даны проекции двух ее точек..

Проекция прямой в общем случае прямая. Лучи, проецирующие каждую точку прямой, в совокупности составляют проецирующую плоскость, которая пересечет плоскость проекций по прямой линии. Это и будет проекция прямой. Две проекции прямой определяют ее положение в пространстве, так как можно замерить координаты двух точек этой прямой.

Величина проекции отрезка прямой зависит от наклона прямой к плоскости проекций.

А₁В₁ = АВ х cosα

Отсюда, проекция отрезка прямой не может быть больше самого отрезка.

Если α = 0; АВ || пл. П₁; А₁В₁ = АВ

Если α = 90°; АВ Ö пл. П₁; отрезок проецируется в точку.

Точка на прямой линии

Если точка лежит на прямой, то ее проекции лежат на одноименных проекциях прямой. Проекции точки делят проекции отрезка в таком же отношении, в каком сама точка делит отрезок прямой (рис. 6,7).

Следы прямой линии

Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами прямой. При трех плоскостях проекций прямая может иметь три следа – горизонтальный, фронтальный и профильный.

Порядок построения следа вытекает из следующих фактов:

1. След прямой – это точка, принадлежащая прямой линии. Значит, проекции следа должны лежать на одноименных проекциях прямой.

2. След прямой – это точка, в плоскости проекций. Значит, одна из проекций следа должна лежать на оси. Поэтому, чтобы построить горизонтальный след М (рис. 6, 7) надо продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью, и отметить здесь фронтальную проекцию следа М₂. Горизонтальная проекция следа – М₁ и совпадающий с ней след М будут располагаться на горизонтальной проекции прямой и на одной линии связи с фронтальной проекцией. Подобным образом строится фронтальный след (N).

Частные положения прямой

Прямые уровня – это прямые, расположенные параллельно плоскостям проекций (рис. 8, 9).

Проецирующие прямые – прямые, перпендикулярные плоскостям проекций (рис. 10, 11). Каждая из этих прямых имеет отличительные признаки на эпюре.

Например, у прямой, параллельной горизонтальной плоскости проекций, фронтальная проекция параллельна оси проекций. Это происходит потому, что все точки прямой одинаково удалены от плоскости П₁. Если прямую ограничить отрезком, например М N, то на плоскость П₁ этот отрезок будет проецироваться в натуральную величину (рис. 8).

 

К прямым уровня относятся:

а) горизонталь h - прямая, параллельная плоскости П₁ (рис. 8, 9);

б) фронталь f - прямая, параллельная плоскости П₂ (рис. 8, 9);

в) профильная прямая (АВ) - прямая, параллельная плоскости П₃ (рис. 8, 9);

К проецирующим прямым относятся:

а) горизонтально - проецирующая прямая (CD) - прямая, перпендикулярная плоскости П₁ (рис. 10, 11);

б) фронтально - проецирующая прямая (EF) - прямая, перпендикулярная плоскости П₂ (рис. 10, 11);

в) профильно - проецирующая прямая (АВ) - прямая, перпендикулярная плоскости П₃ (рис. 10, 11).

Вопросы для самопроверки.

1. Какую прямую называют прямой общего положения?

2. Перечислите прямые частного положения, дайте определение каждой из них и укажите особенности их проекций.

3. Что называют следом прямой?

4. Как построить горизонтальный и фронтальный следы прямой?

5. Как задаются на комплексном чертеже параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые?

6. Как найти натуральную величину отрезка прямой методом прямоугольного треугольника? Как определить углы наклона отрезка прямой к плоскостям проекций П₁ и П₂?

7. В каком случае прямой угол проецируется в виде прямого?

Проецирующие плоскости

Особенности проецирующих плоскостей:

1. Одна проекция любого элемента, расположенного в проецирующей плоскости, совпадает с соответствующим следом этой плоскости;

2. На эпюре угол наклона заданной плоскости к плоскости проекций проецируется в истинную величину (рис. 18).

 

Рис. 18

Плоскости уровня

Особенностью плоскостей уровня является то, что любая плоская фигура, расположенная в такой плоскости, проецируется на параллельную ей плоскость без искажения, т.е. в истинную величину (рис. 19).

 

 

Рис. 19

Прямая и точка в плоскости.

Для построения элементов, находящихся в плоскости общего положения, нужно руководствоваться двумя правилами:

1. Прямая линия принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в плоскости или если она проходит через точку, лежащую в плоскости и параллельно другой прямой, расположенной в этой плоскости (рис. 20);

2. Точка лежит в плоскости, если она лежит на прямой, расположенной в этой плоскости (рис. 21).

Главные линии плоскости.

Горизонталь (h) - прямая лежащая в плоскости и одновременно расположенная параллельно плоскости П₁ (рис 22). Фронталь (f) - прямая лежащая в плоскости и параллельная плоскости П₂. Линия наибольшего наклона - это прямая лежащая в плоскости и перпендикулярная или горизонталям или фронталям плоскости. С помощью линии наибольшего наклона определяется угол наклона плоскости к плоскостям проекций. Линия наибольшего наклона расположенная перпендикулярно горизонталям плоскости называется еще линией ската плоскости (ВК рис 22).

С помощью линии ската определяется угол наклона плоскости АВС к горизонтальной плоскости проекций. Для этого необходимо способом прямоугольного треугольника определить ее натуральную величину и угол между натуральной величиной и горизонтальной проекцией будет искомый угол.

Вопросы для самопроверки.

1. Перечислите и изобразите графические способы задания плоскости на комплексном чертеже.

2. Что понимают под следом плоскости?

3. Какую плоскость называют проецирующей и каковы ее графические признаки на чертеже?

4. Дайте графические характеристики плоскостям: горизонтально - проецирующей, фронтально – проецирующей, профильно – проецирующей.

5. Какую плоскость называют плоскостью уровня?

6. Какую плоскость называют горизонтальной? Фронтальной? Профильной? Изобразите их на чертеже.

7. Назовите признаки принадлежности прямой плоскости, точки плоскости.

8. Покажите на чертеже, как можно прямую заключить в плоскость.

9. Назовите главные линии плоскости.

10. Как определить угол наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций?

Параллельные плоскости.

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (рис.24).

 

Пересечение плоскостей.

Построение линии пересечения плоскостей - одна из основных задач начертательной геометрии. Она относится к так называемым позиционным задачам. К ним относятся задачи на принадлежность геометрических элементов и на пересечение геометрических объектов, например, пересечение прямой или плоскости с поверхностью, пересечение двух поверхностей и, в частности, задача на пересечение двух плоскостей. Две плоскости пересекаются по прямой линии, поэтому для определения линии пересечения плоскостей необходимо определить две точки этой прямой. Для определения двух общих точек линии пересечения проводят две вспомогательные плоскости - посредники частного положения. Каждая вспомогательная плоскость определяет точку, которая одновременно принадлежит двум данным плоскостям (точка К). Рекомендуется вспомогательные плоскости использовать проецирующими, или уровня (рис. 29).

Рис.29

Пример: Построить линию пересечения плоскостей α и β

α (АВ ∩ ВС); β (DE ║ FM)

Рис. 30

Алгоритм решения:

γ ∩ α = 1-2; γ ∩ β = 3-4; 1-2 ∩ 3-4 = К;

σ ∩ α = 5-6; σ ∩ β = 7-8; 5-6 ∩ 7-8 = L;

KL = α ∩ β.

Рассмотрим частный случай пересечения плоскостей, когда одна из них проецирующая (рис.31).

Рис.31

Если одна из пересекающихся плоскостей - проецирующая, то одна из проекций ее линии пересечения совпадает с ее проецирующим следом. Горизонтальная проекция К₁ L ₁ линии пересечения лежит на горизонтальном следе α₁ горизонтально - проецирующей плоскости α. Фронтальная проекция линии пересечения К₂ L ₂ определяется линиями связи.

Вопросы для самопроверки.

1.В каком случае прямая параллельна плоскости?

2.Назовите признак параллельности плоскостей.

3.Назовите признак перпендикулярности прямой плоскости.

4.Сформулируйте условие перпендикулярности двух плоскостей.

5.Как построить линию пересечения плоскостей?

6.Какова последовательность построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения.

5. Лекция 5. Способы преобразования проекций.

Общие положения.

Способы преобразования проекций предназначены для решения метрических задач, связанных с определением действительных размеров и формы изображаемых на эпюре геометрических объектов.

Преобразование проекций имеет целью привести данные геометрические образы в некоторое частное положение относительно плоскостей проекций. Новое положение выбирается так, чтобы упростилось решение поставленной задачи.

Изменять положение заданных образов по отношению к плоскостям проекций можно двумя путями:

1) геометрический объект в пространстве остается неподвижным, изменяет положение аппарат проецирования (способ замены плоскостей проекций);

2) геометрический объект изменяет свое положение в пространстве, аппарат проецирования неподвижен (способы вращения, способ перемещения).

Вопросы для самопроверки.

1. Какие существуют способы преобразования проекций?

2. В чем сущность изображения проекций способом замены плоскостей проекций?

3. Перечислите 4 основные задачи, решаемые методом замены плоскостей проекций.

4. Какие типы задач можно решить способом замены плоскостей проекций?

Лекция 6. Способ вращения.

Сущность способа.

Сущность способа вращения состоит в изменении положения объекта, заданного на эпюре, таким образом, чтобы определенные его элементы заняли относительно плоскостей проекций частное положение и проецировались без искажения.

Начиная преобразование этим способом, надо подготовить аппарат вращения: ось, центр и радиус вращения.

По положению оси вращения различают несколько видов этого способа.

Вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций. При вращении точки в пространстве вокруг оси, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций, проекции точки перемещаются так: горизонтальная – по окружности, фронтальная – по прямой, параллельной оси проекций (или перпендикулярной оси вращения) (рис.40).

 

 

Если ось вращения перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, то на эпюре получается обратная картина (рис.41).

Чтобы повернуть вокруг оси прямую линию, достаточно вращать ее точки на один и тот же угол. При вращении плоскости следует вращать определяющие ее элементы: три точки, прямую и точку и т.д. Этим способом удобно определять натуральную величину отрезка прямой и угол наклона ее к плоскости проекций, при этом ось вращения рационально провести через одну из точек прямой линии, чтобы избежать лишних построений.

Определить натуральную величину отрезка прямой АВ (рис. 42)

Чтобы прямая проецировалась в натуральную величину, она должна располагаться параллельно какой - либо плоскости проекций, а значит, одна ее проекция должна быть параллельна оси проекций:

АВ || П₁; Â₂B₂ || ОХ; ось вращения проходит через точку В;  Â ₁ B ₁ - натуральная величина АВ.

Рис. 42

Вопросы для самопроверки.

1. В чём сущность преобразования проекций способом вращения?

2. В чем сущность преобразования проекций способом вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости?

3. В чём сущность способа преобразования проекций способом вращения вокруг горизонтали или фронтали?

4. Каковы основные принципы способа плоскопараллельного перемещения?

5. Как определить натуральную величину отрезка прямой способом плоскопараллельного перемещения?

7. Лекция 7. Кривые линии. Поверхности.

Общие положения. Классификация кривых линий.

Кривой линией называется геометрическое место (непрерывное множество) последовательных положений точки, движущейся в пространстве.

Кривые линии широко применяются в различных областях науки и техники, а также для образования поверхностей различных архитектурных деталей и конструкций, зданий и сооружений.

Кривые линии по положению точек в пространстве делятся на два вида:

1. Плоские кривые - это кривые, все точки которых лежат в одной плоскости; к ним относятся - окружность, парабола, гипербола, эллипс и т.д.

2. Пространственные кривые - это кривые, точки которых не лежат в одной плоскости. К ним относятся винтовые линии, линии пересечения двух кривых поверхностей и т.д.

Кривые линии подразделяются и по другим признакам. Кривая может быть описана аналитически, т.е. уравнением (алгебраическим или трансцендентным), например эллипс, парабола, синусоида и т.д. Если образование кривой не имеет строгой закономерности, то она задается графически, например, горизонтали на плане местности. Степень уравнения, которое выражает алгебраическую кривую, определяет порядок кривой. Геометрически порядок плоской кривой определяется числом ее точек пересечения прямой линией. Примером может служить эллипс, его уравнение - это аналитически;

геометрически:

 

следовательно, эллипс - кривая второго порядка. Порядок пространственной кривой определяется числом точек пересечения кривой с плоскостью.

Кривая т - кривая четвертого порядка (рис. 47).