Особые точки плоских кривых.

Точки перегиба (н) - точки, в которых кривая проходит на другую сторону касательной прямой, сохраняя касание.

Двойная или узловая точка (А) - это точка, в которой кривая пересекает сама себя. В точке А кривая имеет две различные касательные t₁ и t₂.

Точки возврата первого ряда (В), в которой кривая подходит к точке двумя ветвями, имеющими в точке В общую касательную, расположенными по разные стороны от касательной.

Точки возврата второго ряда С, в которой кривая подходит к точке двумя ветвями, имеющими в точке С общую касательную, расположенными (вблизи точки С) по одну сторону от обеих ветвей кривой.

Все точки кривых сохраняют свои особенности при параллельном проецировании.

В начертательной геометрии кривые линии изучаются по их проекциям. Свойства проекций кривой:

1) В общем случае проекции кривой линии являются также кривыми линиями;

2) Если точка принадлежит кривой линии, то ее проекции принадлежат одноименным проекциям этой кривой;

3) Касательная к кривой линии проецируется в касательную к проекции этой кривой, если направление проецирования не параллельно касательной.

 

 

Плоские кривые.

Наиболее распространенными являются плоские кривые линии. Касательной в плоскости кривой в некоторой ее точке называется предельное положение секущей, когда две общие с кривой точки сечения, стремясь, друг к другу, совпадут. Нормалью называется прямая, лежащая в плоскости кривой и перпендикулярная касательной в точке ее касания. Секущая и касательная проецируются в секущую и касательную к проекции кривой (рис. 48).

 

 

Поверхности. Общие положения.

В математике под поверхностью подразумевается непрерывное множество точек, между координатами которых устанавливается определенная зависимость.

В начертательной геометрии поверхность рассматривается как непрерывное множество последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Такой способ называется кинематическим.

 

Линию l, которая при своем движении образует поверхность, называют образующей. Образующая может перемещаться по какой-либо другой неподвижной линии m, называемой направляющей (рис. 49).

Способы задания поверхности на чертеже:

1. Каркас - это сеть линий, состоящая из двух семейств: семейства образующих l ₁1₂, ... и семействами направляющих т _1, т₂ … Каждая линия одного семейства пересекает все линии второго семейства (рис. 50).

2. Очерк - проекция линии контура поверхности (рис. 51).

 

Контуром поверхности называется линия, точки которой являются точками касания к поверхности проецирующих. При изображении поверхности на чертеже проекцию контурной линии (очерк) называют еще линией видимости, которая является границей, отделяющей видимую часть поверхности от невидимой.

3. Определитель (∆) – это совокупность геометрических элементов и условий, необходимых и достаточных для однозначного задания поверхности в пространстве и на чертеже. Определитель содержит две части – геометрическую и алгоритмическую.   Например, цилиндрическая поверхность (см. рис. 52): определитель ее ∆ (l,а); l//S; l ∩ а).

Из сказанного выше можно сделать следующий вывод: поверхность считается заданной, если относительно любой точки пространства однозначно решается вопрос о принадлежности ее к данной поверхности.

Классификация поверхностей.

По виду образующей:

1. Линейчатые поверхности - с прямолинейной образующей.

2. Нелинейчатые - с криволинейной образующей.

По закону движения образующей: (т.е. по направляющей)

1. Поверхности вращения.

2. Винтовые поверхности.

3. Поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана).

Линейчатые поверхности.

Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная перемещением прямолинейной образующей по одной или более направляющим. Возьмем в пространстве три кривые линии l.

Пусть прямая движется так, что в любом своем положении она пересекает все три кривые l₁ l₂, l₃, тогда при своем движении они описывают линейчатую поверхность (рис. 53).

Выберем на направляющей l₁ точку А. Через нее мы сможем провести бесчисленное множество прямолинейных образующих, пересекающих направляющую l₃. Этим самым определяется коническая поверхность с вершиной в точке А. В какой - то момент образующие пересекут линию l₂ - это точка В, в которой коническая поверхность пересечет линию l₂. В зависимости от вида направляющих получаются различные поверхности.

Поверхности с одной направляющей:

1. Коническая - образуется движением прямой линии l (образующей) по некоторой кривой линии m и имеющей неподвижную точку S (рис. 54).

2. Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой l (образующей) по некоторой кривой т параллельно самой себе или имеющей постоянное направление S∆(т,1 || S) (рис. 55).

3. Торсовая поверхность образуется движением прямой l, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной направляющей кривой т, называемой ребром возврата ∆ (т, l) (рис.56).

4. Многогранные поверхности – это поверхности, образованные частями (отсеками) пересекающихся плоскостей.

Если направляющая т ломаная, а все образующие l пересекаются в одной точке, такая поверхность называется пирамидальной (рис. 57); если все образующие параллельны - поверхность называется призматической (рис. 58).

Многогранником называется тело, ограниченное многогранной поверхностью, состоящей из плоских многоугольников. Отсеки плоскостей называются гранями, а линии их пересечения - ребрами. Точки пересечения ребер называются вершинами.

 

Поверхность с замкнутой ломаной направляющей (m), общей точкой пересечения образующих ребер и граней называется пирамидой (рис.59).

Поверхность с замкнутой ломаной направляющей (m) (основанием) и взаимно параллельными ребрами - призма (рис.60).

Если ребра призмы перпендикулярны основанию, гранник называется проецирующей призмой (рис.61).

 

Вопросы для самопроверки.

1. Как классифицируются кривые линии?

2. Какие точки кривой относят к характерным?

3. Укажите основные способы задания поверхностей.

4. Что называют каркасом поверхности?

5. Что называют определителем поверхности?

6. Как классифицируются поверхности?

7. Как образуются коническая и цилиндрическая поверхности?

8. Как образуются пирамидальная и призматическая поверхности?

Лекция 8. Поверхности.

8.1. Линейчатые поверхности с двумя направляющими (поверхности Каталана)

У этих поверхностей все образующие параллельны неподвижной плоскости, называемой соответственно плоскостью параллелизма.

1. Цилиндроид (l, m, n; П₂), (l // П₂) - поверхность, образованная движением прямой образующей l по двум криволинейным направляющим m и n; все образующие параллельны плоскости параллелизма П₂ (рис. 62).

2. Коноид - поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по двум направляющим, одна из которых прямая, другая - кривая линия (рис.63). Все образующие параллельны некоторой плоскости П₁; )

 

4.Косая плоскость (гиперболический параболоид -гипар) - поверхность образованная движением прямолинейной образующей по двум направляющим - скрещивающимися прямыми; образующие параллельны некоторой плоскости (П₁) (рис.64).

 

∆(m, n, П₁, l) (m ^● n; l // П₁)

Поверхности вращения.

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением образующей вокруг неподвижной прямой оси. Образующая может иметь любой вид. При вращении каждая точка образующей совершает движение по окружности, которая лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения (оси поверхности) и с центром на этой оси.

Окружности, по которым перемещаются все точки образующей, называются параллелями; наибольшую параллель называют экватором, наименьшую – горловиной (рис.65).

Если ось поверхности вертикальна, то все параллели проецируются на горизонтальной проекции без искажения и наоборот. Плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность по линиям, называемым меридианами.

Меридиан, расположенный в плоскости, параллельной плоскости проекций, называется главным и проецируется на эту плоскость проекций очерком поверхности.

Поверхности, образованные вращением прямой линии - рис. 66, а, б, в.

1. Цилиндр вращения: образующая и ось - параллельные прямые ∆ (i, l || i).

 

2. Конус вращения: образующая и ось - пересекающиеся в точке S прямые    ∆ (i, l∩ i).

3. Однополостный гиперболоид вращения: образующая и ось – скрещивающиеся прямые ∆ (i, l ^● i).

Поверхности, образованные вращением окружности (рис. 67 а, б):

1. Сфера образуется вращением окружности вокруг одного из диаметров.

2. Тор образуется вращением окружности вокруг оси i, лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через ее центр.

 

Если ось вращения не пересекает (образующую) окружность, получается поверхность открытого тора, если пересекает – закрытого или самопересекающегося.

Поверхности, образованные вращением дуги окружности (рис. 68 а, б):

1. Выпуклый тор.

 

2. Вогнутый тор.

Поверхности, образованные вращением кривых второго порядка (рис. 69, а, б, в, г):

1. Эллипсоид вращения.

2. Параболоид вращения

3. Гиперболоид вращения однополостный – образуется вращением гиперболы вокруг её мнимой оси:

4. Гиперболоид вращения двуполостной - образуется вращением гиперболы вокруг действительной оси: