Интегральные показатели взвеси, седиментирующего в  роторе центрифуги непрерывного действия

  Если требуется организовать процесс седиментации взвеси в жидкости в условиях непрерывного технологического потока, то для реализации этой цели и для интенсифиции данного процесса целесообразно использовать именно центрифугу непрерывного действия. При этом естественным аналогом процесса  осаждения частиц в роторе центрифуги непрерывного действия, как и в роторе центрифуги периодического действия,  следует считать процесс седиментации взвеси в условиях свободного отстоя. Причём, по-прежнему, считают, что кинетики процесса седиментации частиц в поле силы тяжести и в центробежном силовом поле   различаются лишь интенсивностью силового воздействия на обрабатываемую жидкостную смесь. Что обусловливает постановку и количественный анализ  разделения суспензии в роторе центрифуги непрерывного действия.

В дальнейшем, как и при анализе процесса седиментации частиц в   роторе центрифуге периодического действия, в предположении, обрабатываемая суспензия представляет собой малоконцентрированную жидкостную смесь, считают, что ротор центрифуги с непрерывным отводом осадка приведен во внезапное вращательное движение с угловой скоростью w,  а ограниченный областью r ₀ £ r £ R (где r ₀ и R, соответственно,  радиус свободной поверхности жидкости и радиус ротора), 0 £ z £ L (где L - длина ротора) поток движется в положительном направлении оси   z в поршневом режиме (рис. 7.1), т.е. с постоянной расходной скоростью и поэтому

  u_r = 0, u_z = u ₀,                                                                                    (7.1)

где u = { u_r, u_z }- вектор скорости потока жидкости; u_r, u_z - соответственно, радиальная и осевая составляющие скорости u,

      u ₀ =                                                                         (7.2)

где Q - производительность (расход) центрифуги по жидкости.

При этом показано, что интродуцированная в данный поток  частица небольшого размера в относительном движении перемещается практически по  радиусу, с небольшой скоростью.

С целью исследовать кинетику   частицы, формально,  силу тяжести G заменяют центробежнойсилой

              F _цб = V r_тw² r,

где V и r_т- соответственно, объём и плотность частицы,   r - радиальная координата (рис. 7.2), и, в таком случае, на основе принципа Даламбера записывают

    F _цб+ F _Ар + F _c = 0,                                                                   (7.3)

или, принимая для определённости r_т > r_ж, в проекциях (7.3)  на радиальное направление:

    V Drw² r + F _{c r} = 0,                                                                    (7.4)

на осевое направление:

    F _{c z}  = 0,                                                                                      (7.5)

где Dr = r_т - r_ж.

Если классифицируемая по размеру взвесь состоит из высокодисперсных частиц, то силу сопротивления F _c рассчитывают по формуле Стокса

    F _c = -3pmd(v - u),                                                                      (7.6)

где v = { v_r, v_z }- вектор скорости частиц;    v_r, v_z - соответственно, радиальная и осевая составляющие скорости v; m - динамическая вязкость жидкости, d - диаметр частицы.

    Тогда, подставляя (7.6) в (7.3), c учётом (7.4), (7.5) получают, в проекциях по осям r, z

v _z  - u _z = 0,

откуда имеют

    v _z  = u _z = u ₀,                                                     (7.7)

где обозначено

    k ₁ =                                                                                  (7.8)

    Таким образом, на основе (7.7) приходят к выводу о том, что в радиальном направлении частица движется ускоренно по  радиусу, а в  осевом направлении перемещается одинаково с потоком жидкости, т.е. как взвешенная.

 Согласно кинематическим зависимостям по проекциям скорости частицы

        

и поэтому,

   

в результате приходят к дифференциальному уравнению движения частицы в плоскости rz

                                                                                          (7.9)

    Подставляя (7.7) в (7.9) и разделяя, затем, переменные получают

                                                                                       (7.10)

    Интегрируя (7.10) по траектории частицы А (r, 0) до B (0, L) (рис. 7.2), т.е., слева по r в пределах от r до R, справа по z от 0 до L,  находят частное решение уравнения (7.10)

   

где, согласно (7.2), (7.8), обозначено

                                                                      (7.11)

откуда получают выражение текущего критического диаметра частицы, движущейся по  траектории АВ, как функции координаты r

                                                                      (7.12)

Физический смысл определяемой по (7.12) величины, как обычно, состоит в том, что любые гипотетические частицы диаметром d¢ > d, исходящие из точки А (r, 0), достигнут стенку ротора (и осядут на ней) в точке С (R, z), такой, что z < L (рис. 7.2).

С целью получить наибольшее из значений d_к критического диаметра частицы в формуле (7.11) полагают r = r ₀, в результате  имеют

                                                                      (7.13)

    В свою очередь, из формулы (7.13) следует зависимость производительности Q   центрифуги от значения d_к  

                                                                            (7.14)

Для того чтобы получить интегральную характеристику по количеству оседающих в единицу времени на стенке ротора частиц, из цилиндрического объёма r ₀ £ r £ R и высотой w ₀, выделяю элементарную трубку  радиусами r, r + d r и той же высоты (рис. 7.2).

    Причём, из выделенного объёма суспензии в единицу времени осаждается количество частиц, равное

d n ₁ = (2p r d r) w ₀ n ₀ Ф [d(r, t)],                                             (7.15)

где Ф (d) = 1 - F (d), F (d), Ф (d) - соответственно, счётная и характеристическая функции распределения частиц по крупности в исходной суспензии.

    Интегрируя (7.15) слева по числу n оседающих частиц, а справа - по r - по толщине потока, имеют

                                                                  (7.16)

    С другой стороны, так как тот же объём суспензии включает p(R ² - r ₀²) w ₀ n ₀ частиц, то в качестве счётного коэффициента осветления, в силу (7.16), принимают

                                                            (7.17)

а в качестве   счётного коэффициента уноса  

                                                            (7.18)

где n ₁(Q), n ₂(Q) - соответственно,  количество частиц, сохранившихся в суспензии в единицу времени в единице объёма в осветлённой суспензии (фугате) и количество частиц, осадившихся в единицу времени из суспензии на стенке ротора (r = R, 0 < z < L), в том же объёме, d(r) рассчитывается по (7.12).

    Принимая во внимание формулы (7.12), например, для коэффициента уноса e (7.18) получают в явной форме

                                          (7.19)

или, c учётом формулы (7.13)

                                            (7.20)

     Переписывая (7.20) в явной форме, имеют

                                           (7.21)

откуда, учитывая, что F (0) = 0, F (¥) = 1, и  переходя к пределам по физико-механическим и геометрическим параметрам процесса получают   

lim_{m ®0}e = 0, lim _{u0 ®0}e = 0, lim _{u0 ®¥}e = 1,

lim_w®¥e = 0, lim _{L ®¥}e = 0, lim _Dr®0e = 1,

что соответствует физическому смыслу коэффициенту e уноса.

    Выражая u ₀    в соответствии с (7.2), придают коэффициенту (7.19) вид

                                             (7.22)        

    Как видно по структуре формулы (7.22), подкоренное выражение в аргументе функции F, зависит от всех основных параметров процесса разделения суспензии в роторе центрифуги непрерывного действия. При этом в реальных условиях в качестве управляющего параметра процесса классификации частиц проще всего выбирать либо угловую скорость w, либо производительность Q центрифуги.

    В дальнейшем  управляющим параметром процесса выбирают производительность Q.

Поскольку F ¢(d) > 0, R > r, то в соответствии с (7.22) частная производная по Q коэффициента уноса

     =

    > 0.

Откуда вытекает, что, как и должно быть, коэффициент уноса e(Q)   возрастает вместе с производительностью центрифуги по закону Q ^-1/2, т.е. сравнительно медленно (т.е. острота разделения снижается одновременно при увеличении производительности машины).

    Соответственно, при тех же условиях, коэффициент осветления h  является возрастающей функцией по Q.

     Аналогично, на основе (7.20) можно показать, что

   

и поэтому, коэффициент уноса возрастает, а коэффициент осветления

убывает (условия осветления ухудшаются).

    В дальнейшем, формулы (7.20) - (7.22) полагают в основу количественного анализа процесса разделения высокодисперсныхчастиц в роторе центрифуги непрерывного действия.