Фильтрование суспензии в сферическом пласте

    Исследуется напорное осесимметричное фильтрование двух несжимаемых жидкостей в одно - и двухслойном пласте сферической формы при наличии границы, разделяющей жидкости, а также при наличии промежуточной зоны - области совместного движения жидкости. Предполагают, что внутри пористого сферического изотропного и однородного пласта под действием постоянного перепада давления одна жидкости вытесняет другую, не смешиваясь, и пусть пласт дренируется расположенной в центре сферы дреной. Предполагают также, что режим пласта упругий, и, кроме того, справедлив закон фильтрации Дарси. Пусть               В (0 < В < 1) - пористость сферы, k - проницаемость, R - радиус сферы, ограничивающей пористую среду, r ₀ - радиус совершенной дрены, r_i (i = 1,2) - соответственно, динамическая вязкость  и плотность жидкостей (рис. 8.1).

R

 

                                                       

 

                        I  II 

x

O

                                     

 

r 0

 

 

Рис. 8.1 

 

 Требуется найти уравнение поверхности раздела r = x(t) в предположении, что режим фильтрования осесимметричный. В пищевой промышленности эта задача связана с анализом процесса принудительного посола молочных продуктов, пропитки фруктов сиропом под давлением и другим.

    В принятом допущении о линейном характере процесса фильтрования скорости фильтрации для зоны нагнетания (i = 1) и зоны вытеснения (i = 2) согласно закону Дарси равны   

      v _i = -(k /m_i)¶ p _i/¶ r,                                                                                (8.1)

где v _i, p _i   - соответственно, скорость фильтрации и давление в i - той зоне.

    Поскольку, с точностью до постоянного множителя, при осесимметричном режиме, расход жидкости через сферическую поверхность r = r в пористом пласте равен 4p r ² v и зависит только от времени, то вследствие закона сохранения масс, для каждой из жидкостей в сферических координатах имеют ¶(v _i r ²)/(¶ r) = 0, откуда заключают, что

    v_i r ² = h _i(t),                                                                                (8.2)

где h _i(t) = произвольная функция времени. Тогда в силу (6.1), (6.2) находят

    ¶ p _i/¶ r = -[m_i/(k r²)] h _i(t),                                                              (8.2)

    p _i = m_i/(k r) h _i(t) + g _i(t),                                                     (8.4)

 где g _i(t) - произвольная функция времени. Если значения давления на поверхностях сферы r = R и дрены r = r ₀ соответственно Р ₁ и Р ₂, то имеют граничные условия

    р = Р ₁ при r = R,                                                                 (8.5)

    р = Р ₂ при r =  r ₀,                                                                (8.6)

    Кроме того, учитывая равенство давлений р ₁, р ₂ и скоростей фильтрации v ₁, v ₂ на границе раздела жидкостей r = x(t), исходя из (6.1), получают

 

    Р₁ = р ₂, m₂¶ р ₁/¶ r = m₁¶ р ₂/¶ r при r = x(t).                           (8.7)

Тогда в силу (6.3) - (6.7) имеют систему

m₁/(kR) h ₁(t) + g ₁(t) = P ₁, m₂/(kR) h ₂(t) + g ₂(t) = P ₂,

                                                                                                  (8.8)

    m₁/(k x) h ₁(t) + g ₁(t) = m₂/(k x) h ₂(t) + g ₂(t), h ₁(t) = h ₂(t).

    Решением системы уравнений (6.8) является

    h ₁(t) = h ₂(t) = ,                                   (8.9)

    ,                                                  (8.10)                  ,                                           (6.11)

 где h = m₂/m₁. В допущении, что Р ₁ > P ₂, r ₀ < x < R, исходя из (6.9), заключают, что h ₁(t) < 0, то есть, поток жидкости является  сходящимся.

    Таким образом, в соответствии с (6.4), (6.9) - (6.11) имеют

                                                                                                  (8.12)

   

    Принимая во внимание кинематическое условие на поверхности раздела двух жидкостей

                                                                         (8.13)

 в силу (6.12) получают

         

 откуда, разделяя переменные, имеют

    [(1 - h) r ₀ R x + (h R - r ₀)x²]dx = k /(B m₁)×(P ₂ - P ₁) r ₀ R d t.         (8.14)

Интегрируя (6.14) слева в пределах от R до x, справа - в пределах от 0 до t, получают

 

                        (8.15)

    Соотношение (6.15) представляет собой алгебраическое уравнение третьей степени, которое в принципе можно разрешить явно относительно x = x(t). Если в (6.15) положить x = r ₀, то время полного вытеснения первой жидкостью второй составит

                     (8.16)

    Из (6.16) следует, что при Р ₁® Р ₂ время полного  вытеснения Т ®µ. Если имеют две жидкости разной плотности и одинаковой вязкости (что соответствует, например, случаю вытеснения соленой водой пресной воды), то есть, m₁ = m₂ = m, h = 1, то вследствие (6.15) уравнение движения границы имеет вид 

   

 а время полного вытеснения

   

    Если вязкость первой жидкости значительно больше вязкости второй, то есть, m₁ = m >> m, h®0, что соответствует, например, случаю пропитки концентрированным сахарным сиропом плодов сферической формы, то исходя из (6.15), (6.16) получают

          Расчет периода полного вытеснения одной жидкостью другой согласно (6.17), для значений параметров R = 0,05м, r ₀ = 0.01м, m = 0,01Па×с, k = 10^-14м², D Р =Р ₂ - Р ₁ = 10^-6 Па, В = 0,9 дает величину Т = 336 с.

    Уточненный расчет по формуле (6.15) для значений параметров режима фильтрования с вытеснением одной жидкостью другой в сферическом пласте R = 0,05м, r ₀ = 0,01м, m = 0,01Па×с, h = 0.1, k = 10^-14 м², D Р = 10^-6 Па, m = 0,9 дает для времени полного вытеснения Т = 3576 с или примерно Т = 1 ч.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кавецкий Г.Д., Васильев Б.В. Процессы и  аппараты пищевой технологии.- М:”КОЛОС”, 1997.

2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа. 1967. 600 с.

3. Семенов Е.В. и др. Методы расчетов гидромеханических процессов в пищевой промышленности. - М.: МГУПП, 2002.

4. Семенов Е.В. и др. Количественное моделирование процессов массопереноса  в перерабатывающих производствах АПК. - М.: CПУТНИК+, 2006.

5. Семенов Е.В. и др. Методы расчета технологических процессов массо- и теплопереноса перерабатывающих отраслей АПК. - М.: CПУТНИК+, 2009.

 

 

Курс лекций

по дисциплине «Интенсификация технологических процессов на предприятиях отрасли»

 

Составители: СЕМЕНОВ Евгений Владимирович,

СЛАВЯНСКИЙ Анатолий Анатольевич

 

Вопросы к экзамену по курсу «Физико-химические основы отрасли»

1. Предмет курса. Цели и задачи изучаемого курса. Обзор основных, используемых при прохождении курса, теоретических  положений дисциплин - высшей математики,  физики и теоретической механики.

2. Гидромеханические процессы. Гидростатика. Основное уравнение гидростатики.

3. Гидродинамика. Общие положения.

4. Уравнение неразрывности потока.

 5. Основы теории динамики вязкой несжимаемой жидкости. Критериальное моделирование гидромеханических процессов.

6. Формула расчета силы сопротивления для шара.

 7. Количественный анализ процесса разделения смеси частиц растительного происхождения в  пневмосепарирующем канале.

8. Анализ кинематики частицы в  пневмосепарирующем канале при числе Рейнольдса Re < 1.

9. Постановка задачи о кинематике частицы в  пневмосепарирующем канале при числе Рейнольдса Re > 1. Как развивается процесс пневмосепарирования при разделении зерносмеси?

10. Исследование процесса сепарирования жидкостных систем биологического происхождения. Постановка задачи. Где имеют место данные процессы в сахарной промышленности?

11. Осаждение частиц в условиях свободного отстоя при малых значениях числа Рейнольдса. Расчет скорости и времени осаждения частицы. Где встречаются процессы свободного отстоя в сахарной промышленности?

 12.  Массовые функция распределения и характеристичекая функция распределения частиц по крупности. Где  и для чего используют продукта в сахарной промышленности?

13. Понятие текущего и глобального критического диаметра частицы. Где и для чего используют понятие критического диаметра частицы

при количественном  анализе     процессов в сахарной промышленности?

 14. Коэффициент уноса и коэффициент осветления при обработке суспензии. В чем состоит смысл этих понятий применительно к сахарному производству?

15. Осаждение частиц в центробежном силовом поле. Расчет скорости и времени осаждения частицы в данном силовом поле при малых значениях числа Рейнольдса. Каковы основные физико-механические факторы, влияющие на эффективность процесса осаждения кристаллов сахарозы?     

16. Центрифуга периодического действия. Где  и с какой целью применяются центрифуги периодического действия в сахарной промышленности? Каковы основные физико-механические и геометрические      параметры данных центрифуг?

17. Силы, действующие на частицу в роторе центрифуги непрерывного действия. Расчет скорости осаждения частицы в роторе центрифуги непрерывного действия. Зачем нужен этот расчет?

18. Расчет критического диаметра для потока суспензии в роторе центрифуги непрерывного действия. Где и с какой целью применяются центрифуги непрерывного  действия в сахарной промышленности? В чем состоит различие процессов разделения  утфеля в центрифугах периодического и непрерывного действия?

19. Фильтрование жидкостных систем в продуктах растительного происхождения. Закон Дарси. В чем состоит механический смысл данного закона? В каких производствах сахарной промышленности имеют место процессы фильтрования?

20. Пропитка плодов шарообразной формы сахарным раствором.

        

Утверждено на заседании кафедры технологии переработки растительного сырья и парфюмерно-косметических изделий МГУТУ им. К.Г. Разумовского

 

Зав. кафедрой, профессор                           (Славянский А.А.)

 

 

.