Лекция 2. Гидромеханические процессы. Гидростатика.

Курс лекций

по дисциплине «И нтенсификация технологических процессов на предприятиях отрасли»

 

Федеральное агенство по образованию

ГОУ ВПО «Московский государственный университет технологий и управления им. К.Г. Разумовского»

 

Кафедра технологии переработки растительного сырья и парфюмерно-косметических изделий 

 

 

Курс лекций

по дисциплине «Интенсификация технологических процессов на предприятиях отрасли»

 

 

Москва

ГОУ ВПО «МГТУ им. К.Г. Разумовского»

20

 

 

Составители: д-р техн. наук Е.В. Семенов,

д-р техн. наук А.А. Славянский

Курс лекций по дисциплине «Интенсификация технологических процессов на предприятиях отрасли»/Сост.: Е.В. Семенов, Славянский А.А. - М.: ГОУ ВПО «МГТУ им. К.Г. Разумовского», 20.

   

    В работе, в рамкахзаконов механики твердого тела и механики сплошной среды, исследуются связанные с инженерной деятельностью  специалиста  пищевой промышленности  вопросы равновесия и движения жидкостных и газообразных сред растительного происхождения.  Рассматриваются вопросы приложения данных законов к анализу кинетики взвесей из продовольственного сырья и пищевых продуктов в технологических процессах пищевых производств.     

 

 

Для  студентов специальности 151000, направление «Технологические машины и оборудование», профиль «МАПП»

квалификация (степень) выпускника: бакалавр

 

Ó ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет технологий и управления имени К.Г. Разумовского», 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Лекция 1. Предмет курса. Цели и задачи изучаемого курса. Обзор основных, используемых при прохождении курса, теоретических  положений дисциплин - высшей математики,  физики и теоретической механики.

 Лекция 2.  Гидромеханические процессы. Гидростатика.  

 Лекция 3. Уравнения Эйлера динамики  идеальной жидкости.  Уравнение Бернулли и его приложения в технике.

 Лекция 4.  Основы теории динамики вязкой несжимаемой жидкости. Критериальное моделирование гидромеханических процессов. Формулы расчёта силы сопротивления для шара.

 Лекция 5. Количественный анализ процесса разделения смеси частиц растительного происхождения в  пневмосепарирующем канале.    

   Лекция 6. Исследование процесса сепарирования жидкостных систем биологического происхождения.

 Лекция 7. Количественный анализ эффективности процесса центрифугирования суспензий.

Лекция 8. Фильтрование жидкостных систем растительной природы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

Лекция 1. Предмет курса

Гидромеханические (жидкостные) процессы. Под «жидкостью» понимают все  тела, для которых характерно свойство текучести, т.е. способность сколь угодно сильно изменять свою форму под действием сколь угодно малых сил. Таким образом, в это понятие включают как жидкости обычные, называемые капельными, так и газы.

Первые отличаются тем, что в малых количествах принимают сферическую форму, а в больших обычно образуют свободную поверхность.

Важной особенностью капельных жидкостей явля­ется то, что они ничтожно мало изменяют свой объем при изменении давления, поэтому их обычно считают несжимаемыми. Газы, наоборот, способны к весьма значительному уменьшению своего объема под действием давления и к неограниченному расширению при отсутствии давления, т. е. они обладают большой сжимае­мостью.

Несмотря на это различие законы движения капельных жид­костей и газов при определенных условиях можно считать одинако­выми. Основным из этих условий является малое значение скорости течения газа по сравнению со скоростью распространения в нем звука. В гидравлике изучают движения главным образом капельных жидкостей, причем в подавляющем большинстве случаев послед­ние рассматривается как несжимаемые. Что же касается внутрен­них течений газа, то их относят к области гидравлики лишь в тех случаях, когда скорости их течения значительно меньше скорости звука и,

Вследствие трудностей решения задач  гидромеханики историческое развитие механики жидкостей шло двумя различными путями. Первый путь - теоретический путь точного математического анализа, основанного на законах механики. Он привел к созданию теоретической гидромеханики, которая долгое время являлась самостоятельной дисциплиной, непосредственно несвязанной с экс­периментом. Метод теоретической гидромеханики является весьма эффективным средством научного исследования, однако он не всегда дает ответы на вопросы, выдвигаемые практикой.  Второйпуть - путь широкого привлечения эксперимента  и накопления опытных данных для использования их в инженерной практике, приведший к созданию гидравлики, возник из насущных задач практической, инженерной деятельности людей. В начальный период своего развития гидравлика была наукой чисто эмпирической. В настоящее же время в гидравлике, где это возможно и целесообразно, все больше применяют методы теоретической механики для решения отдельных задач, а теоретическая  гидромеханика всё чаще прибегает к эксперименту.

следовательно, сжимаемостью газа можно пренебречь. Такие случаи движения встречаются на практике довольно часто. Это, например, течение воздуха в вентиляционных системах и некоторых других газопроводах. В дальнейшем изложении под термином «жидкость» понимают капельную жидкость, а также газ, когдаего можно считать несжимаемым.

Целый ряд явлений, крайне трудно поддающихся теоретическому анализу, ввиду своей сложности, исследуют экспериментальным путем, а результаты такого исследования пред­ставляют в виде эмпирических формул. Гидравлика дает методы расчета и проектирования разнооб­разных гидротехнических сооружений (плотин, каналов, водосли­вов, трубопроводов для подачи всевозможных жидкостей), гидромашин (насосов, гидротурбин, гидропередач), а также других гидравлических устройств, применяемых во многих областях техники.    Особенно велико значение гидравлики в машиностроении, где приходится иметь дело с закрытыми руслами (например, трубами) и напорными течениями в них, т. е. с потоками без свободной поверх­ности и с давлением, отличным от атмосферного. Гидросистемы, состоящие из насосов, трубопроводов, различных гидроагрегатов, широко используют в машиностроении в качестве системы жидкостного охлаждения, топливоподачи, смазки и др. В различных современных машинах все более широкое при­менение находят гидропередачи (гидроприводы) и гидроавтома­тика.   Гидропередачи представляют собой устройства для  передачи механической энергии и преобразования движения посредством жидкости. По сравнению с другими видами передач (зубчатыми и.т. п.) гидропередачи имеют ряд существенных преимуществ: простота преобразования вращательного движения в возвратно-поступательное, возможность плавного (бесступенчатого) изменения соотношения скоростей ведущего и ведомого звена, компактность.

 

 

   

 

 

К гидромеханическим отно­сят  также и процессы перемешивания в жидких средах, разделения суспензий и эмульсий путем отстаивания, фильтрования, центрифугирования, псевдоожижения зернистого материала и др.

Гидродинамика

Общие положения

В зависимости от закономерностей движения жидкости разли­чают установившееся и неустановившееся движение.

При установившемся движении скорости, ускорения частиц жид­кости, давления, глубины не меняются во времени (¶ v / ¶ t = 0, ¶ р/ ¶ t  = 0 и т. д.), а являются только функцией координат, т. е. зави­сят лишь от положения в потоке жидкости рассматриваемой точки:

v = f ₁(x, y, z); p = f ₂(x, y, z),

где v - скорость движения жидкости; р - давление.

При неустановившемся движении скорость и давление потока являются функциями как координат, так и времени:

v = f ₁(x, y, z, t); p = f ₂(x, y, z, t).

Установившееся движение потоков характерно для непрерыв­ных процессов, а неустановившееся - для периодических.

Установившееся движение может быть равномерным и неравно­мерным.

Равномерное движение имеет место, когда скорость, давление, глубина и форма потока не меняются по длине потока. Примером равномерного движения является движение жидкости в трубопро­воде постоянного сечения с постоянной скоростью.

Неравномерное движение происходит, например, в конической трубе, когда скорость, давление и глубина потока меняются по длине трубы.

Если рассмотреть поперечное сечение потока жидкости и мысленно представить его состоящим из отдельных элементарных струек, то окажется, что частицы жидкости, находящиеся в струй­ках, расположенных на различном расстоянии от оси потока, дви­жутся с различными скоростями.

Скорость движения жидкости будет максимальной по оси потока и минимальной в струйках у стенки трубы. Распределение скоростей в потоке зависит от режима движения жидкости.

Анализа кинематики частицы

Поскольку исследуемый процесс сепарирования смеси осложнен многими факторами, то количественное моделирование данного процесса может быть осуществлено лишь при определенной схематизации рассматриваемого явления.

В качестве упрощающих предположений, полагаемых в основу схемы процесса сепарирования смеси в потоке воздуха, используют допущения, не сильно искажающие реальную картину протекания исследуемого явления. А именно, считают, что объёмная концентрация частиц в потоке воздуха невелика и поэтому кинематику частицы полагают не зависящей от движения коллектива соседних частиц. В результате, учитывая, что объёмная концентрация частиц в воздушном потоке в реальных условиях не превышает одного процента (т.е. имеют малоконцентрированную смесь “газ-твёрдое”), при описании движения частицы вместе с коллективом соседних может быть использована бесстолкновительная модель кинетики процесса.

   Кроме того, предполагают, что основной поток (поток воздуха) одномерный, а распределение скорости воздуха по поперечному сечению потока незначительно отличается  от расходной скорости его. Данное допущение подтверждается опытными измерениями скорости потока воздуха, ограниченного параллельными стенками. В результате, если считать воздушный поток равномерным, инерционным, то при анализе относительного движения частицы, т.е. её перемещения по отношению к системе отсчёта, связанной с  потоком, будет выполняться принцип относительности классической механики: действующие на частицу силы в подвижной системе координат будут такими же, как и в  абсолютной системе отсчёта.

   При обосновании силового воздействия потока воздуха на частицу (т.е.  при решении внешней задачи аэродинамики), полагаем, что действующие на частицу силовые факторы выбираются такими же, какими они были бы при решении внутренней задачи аэродинамики однородного потока газа  в  том месте, где находится частица. При этом учитываем, что на изолированную частицу весом G, введенную каким-либо образом в невозмущенный поток, и движущуюся со скоростью V, со стороны окружающей среды гипотетически действуют: сила сопротивления среды F _с, сила давления Р, подъемная сила Магнуса-Жуковского F _Ж и др.  (рис. 5.1)

Поток воздуха

L

y

x

Зона осаждения лёгких частиц (примесей)

Зона осаждения тяжёлых частиц (целевого) продукта

О

V 0

j

Траектория лёгкой частицы

Траектория тяжёлой частицы

U

Рис. 5.1.

      Анализ процесса проводят для случаев:

а) отнесённое к размеру d частицы число Рейнольдса Re < 1, и поэтому силу сопротивления среды F _с  принимают в виде закона Стокса;

б) число Рейнольдса значительно превышает 1, и поэтому в качестве силы сопротивления F _с выбирают квадратический закон по местной (относительной) скорости частицы в потоке (по скорости  витания).

Число Рейнольдса Re < 1

В таком случае, если среди действующих на частицу сил сохранить лишь наибольшие по порядку величины - вес G и силу сопротивления F _с (рис. 5.1), то в  результате согласно основному закону динамики для точки приходят к уравнению

          md V / dt   =   G + F _с,                                                             (5.1)

где m - масса частицы, кг; t - время, с; G = {0, - mg } - вектор силы тяжести,Н; g - ускорение свободного падения, м/с²; F _c   = -3pmd(V - U), m - динамический  коэффициент вязкости, Па×с; d - диаметр частицы, м; V = { V _x, V _y} - вектор скорости частицы, U = {0, U }, U - скорость потока воздуха, U > 0, м/с.

Выбирая при исследовании поставленной задачи оси координат естественным путем (рис. 5.2), направляют ось у  вверх, против силы тяжести, а ось х перпендикулярно оси у.

G

V

Fc

U

Рис. 5.2

 

В таком случае, проецируя векторное уравнение (5.1) по осям х и у, получают

    dV_x/dt = -kV_x,                                                                           (5.2)

    dV_y/dt =-g - k (V_y - U).                                                              (5.3)

где

k = 18m/(r₁d²),

где r₁ - плотность частицы, кг/м³.

     Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5.2), (5.3) согласуют с начальным условием (рис. 5.1) 

    V_x0  = V ₀ Cos j, V_y0 = - V ₀ Sin j при t = 0.                      (5.4)

    Частным решением задачи (5.2) - (5.4) является

        V_x = V_{x 0} ехр(- kt),                                                                       (5.5)

    V_y   = [(g + kw ₀) ехр(- kt) - g ]/ k + U,                                       (5.6)

где временно обозначено w ₀  = V_{y 0} - U.

    Поскольку V_x = dx / dt, V _у = d у/ dt, то на основе (5.5), (5.6) могут быть найдены зависимости декартовых координат частицы от времени,  удовлетворяющие начальным условиям 

    х = 0, у  = 0 при t = 0.                                                     (5.7)

    В результате, интегрируя (5.5), (5.6), с учетом (5.7), имеют

    x = V_{x 0} [1 - ехр(- kt)]/ k,                                                            (5.8) 

    y = (g + kw ₀)[1 - ехр(- kt)]/ k ² + (U - g / k) t.                          (5.9)           С целью получить уравнение траектории точки в аналитической форме выражают время t из уравнения (5.8)

    1 - ехр(- kt) = kx / V_{x 0}, t = -ln[1 - kx / V_{x 0} ]/ k.                          (5.10)

    В результате чего в соответствии с (5.9), (5.10) в явном виде, как функцию у от х, получают уравнение траектории частицы в рабочем объеме пневмосепаратора:

y = (g + kw ₀) x /(k V_{x 0}) + (g / k - U)ln[1 - kx / V_{x 0} ]/ k.                   (5.11)    

    Таким образом, в рамках принятых допущений  решение задачи (5.4) - (5.7), в виде зависимостей (5.5), (5.6), (5.8)- (5.10), по проекциям скорости, координатам и     уравнению траектории моделирующей частицу точки в рабочем объеме пневмосепаратора получено полностью. На базе данных зависимостей может быть реализован полный конструктивный анализ кинематики частицы в рабочей полости вертикального пневмосепарирующего канала.

    Так, в частности,   из условия обращения в нуль производной y ¢(х) = 0 вытекает, что в точке с абсциссой х _опт = V_{x 0} [1- (Uk - g)/(g + kw ₀)]/ k траектории частиц достигают экстремальной высоты

Если L - ширина канала, то на основе формулы (5.10) определяют время Т достижения частицей противоположной стенки канала (эффективное время  осаждения частицы на вертикальной стенке):

Т = -ln[1 - kL / V_{x 0} ]/ k.

    Поскольку эффективность работы сепаратора в некоторых случаях оценивают, в основном, по содержанию тяжелых частиц в зоне осаждения лёгких частиц (примесей), то анализ эволюции дисперсности взвеси проводят  по поведению  траектории ОАВ (рис. 5.3) именно для этого компонента смеси. Данную траекторию, как и размер частицы, движущейся по этой линии, в теории сепарирования жидкостных и газовых смесей называют, соответственно, критической траекторией и   критическим диаметром d _к частицы. При этом критический диаметр d _к частицы является корнем   уравнения траектории, проходящей через точку В (L, 0), координаты которой удовлетворяют  (5.11)

  (g + kw₀) L /(k V_x0) + (g/k - U)ln[1 - kL / V_x0 ]/ k = 0.               (5.12)    

где d _к    входит в уравнение (5.12) через параметр k, а именно,

    d = [18m/(k r₁)]^1/2.                                                                     (5.13)

    Учитывая, что уравнение (5.12) зависит от d _к неявным образом, данный параметр определяли численным путем как корень трансцендентного уравнения по d _к. Причем, при выполнении вычислений, например, в такой операционной системе как MATH С AD, выкладки, связанные с получением в явной форме уравнений типа (5.12), проводили в символьном виде.

 

О

х

у

В

В

А

Рис. 5.3

    При этом  согласно определению понятия критического диаметра d _к частицы, размером больше d _к, отводятся вниз, а размером меньшим d _к - уходят с потоком воздуха в зону осаждения лёгких частиц. В свою очередь,  если эффективность процесса сепарирования смеси базируется на понятии критической скорости витания v _к частицы, то частицы, движущиеся со скоростью меньшей критической, отводятся в зону целевого продукта, а  движущиеся со скоростью больше критической - в зону осаждения лёгких частиц.

Число Рейнольдса Re > 1

 Если процесс сепарирования смеси развивается в условиях, когда размеры разделяемых частиц имеют величину порядка нескольких миллиметров, при скорости потока воздуха порядка нескольких метров в секунду, то кинетика частиц в рабочем объеме воздушного сепаратора протекает при немалом значении числа Рейнольдса. Поэтому в качестве силы сопротивления F _с движению частицы со стороны потока воздуха принимают квадратический закон по местной (относительной) скорости частицы в потоке, т.е. по так называемой  скорости  витания.

В таком случае силу сопротивления F _с принимают по зависимости

F _c   = - k ₁ V _отнê V _отнê,

где k ₁ = 0,5r_в с _у S - коэффициент пропорциональности, r_в - плотность воздуха, кг/м³; с _у - аэродинамический коэффициент сопротивления; S - площадь проекции частицы на плоскость, нормальную направлению ее движения, м²; V = { V _x, V _y} - вектор скорости частицы, V _отн = v = V - U, U = {0, U }, U - скорость потока воздуха, U > 0,   V _отн - вектор местной скорости частицы, м/с.

    Тогда векторное уравнение (5.1) в проекциях по осям х и у принимает вид

    mdV_x / dt = - kV_x ç v ç,                                                                   (5.14)

    mdV_y / dt =- mg - k (V_y - U) ç v ç.                                                   (5.15)

Поскольку ç v ç= [ V_x ² + (V_y - U)²]^1/2, то согласно уравнениям (5.14), (5.15) имеют

dV_x/dt = -kV_x [ V_x ² + (V_y - U)²]^1/2,                                              (5.16)

    dV_y/dt =-g - k (V_y - U) [ V_x ² + (V_y - U)²]^1/2.                        (5.17)

где k   = k ₁/m. 

     Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5.16), (5.17) согласуют с начальным условием (рис. 5.1)  

V_x  = V ₀ Cos j, V_y = V ₀ Sin j   при t = 0.                               (5.18)

Поскольку система уравнений (5.16), (5.17) является нелинейной относительно искомых проекций скорости V _х и V _у, то ее решение может быть найдено лишь численным методом.

Для того чтобы получить зависимости, позволяющие прогнозировать результаты сепарирования смеси в вертикальном пневмосепарирующем канале, необходимо располагать аналитическим, пусть даже упрощенным, решением задачи (5.16) - (5.18) по проекциям скорости частицы и ее координатам. С  помощью численного моделирования (в критериальной форме) задачи Коши (5.16) - (5.18), на базе стандартных процедур, в  области реальных значений параметров процесса было выявлено, что  обычно выполняется неравенство V_x ² < (V_y - U)².   Поэтому, имея в виду, что    U - V _у > 0, вместо уравнений (5.16), (5.17) приближенно  имеют

dV_x/dt = -kV_x ç V_y - U ç,                                                       (5.19)

    dV_y/dt =-g - k (V_y - U) ç V_y - U ç.                                             (5.20)

Вводя скорость v  витания частицы, и учитывая, что V_x > 0, системе уравнений (5.19), (5.20) придают форму

dV_x/dt = kV_x v,                                                                      (5.21)

    d v/dt =-g + k v ².                                                                (5.22)

При этом начальные условия (5.4) по проекциям скорости частицы принимают вид

  V_x  = V_{x 0} = V ₀ Cos j, v = v ₀     при t = 0,                 (5.23)

где v ₀ = V ₀ Sin j - U.

    Общим интегралом уравнения (5.22) является

    ln[(b - v)/(b + v)]/ a = t + ln C ₂/ a,                                                (5.24)

где С ₂ = const, и для сокращения преобразований введены обозначения              а = 2(gk)^1/2, b = (g / k)^1/2.     

 Исходя из (5.23), (5.24) находят

v = b (c - e^at)/(c + e^at),                                                                (5.25)

где обозначено с = (b + v ₀)/(b - v ₀).

    И, поскольку v = V - U,    то в соответствии с (5.25) 

    V_y = U + v = U + b (c - e^at)/(c + e^at).                                      (5.26)

    Подставляя (5.26)в уравнение (5.21), получают

dV_x/dt = kV_x b (c - e^at)/(c + e^at),

откуда, имея в виду связь kb = a /2,  находят общий интеграл

                                V_x = С ₁[ e^at/2 /(c + e^at)],                                  (5.27)

где С ₁ = const.

    Согласуя (5.27) с (5.23), получают частное решение уравнения (5.21)

                      V_x  = V_{x 0}×(с + 1)× e^at/2 /(c + e^at).                           (5.28)

    Поскольку V_x = dx / dt, V _у = d у/ dt, то на основе (5.26), (5.28)  находят зависимости декартовых координат частицы от времени,  удовлетворяющие начальным условиям 

    х = 0, у  = 0       при t = 0.                                          (5.29)

    В результате, интегрируя (5.26), (5.28), с учетом (5.29), имеют

    х =  2 V_{x 0}(с + 1)/(ac ^1/2)[arctg(e^{at/ 2}/ c ^1/2) - arctg(1/ c ^1/2)],                  (5.30)

    y = Ut + (2b/a)ln[(с + 1) e^{at/ 2}/(c + e^at)].                                   (5.31)

    С целью получить уравнение траектории точки в аналитической форме выражают время t из уравнения (5.30)

    t  = 2ln[ c ^1/2tg(a + x х)]/ a,                                                           (5.32)

где для сокращения записи приняты обозначения

a = arctg c ^-1/2, x = ac ^1/2/[2 V_{x 0}(с + 1)].

Поэтому, согласно (5.32)

  e^{at / 2} = с ^1/2×tgb, c + e^at = с (1 + tg²b),                                        (5.33)

где временно введено обозначение b = x х + a.

    В результате чего в соответствии с (5.30), (5.32) в явном виде, как функцию у от х, получают уравнение траектории частицы в рабочем объеме пневмосепаратора:

  y = Ut + (2 b/a)ln[(с + 1) e^{at/ 2}/(c + e^at)] =

= U (2 /a)ln[ c ^1/2tg(x х + a)] + (2 b / a)ln{0.5(с + 1) c ^-1/2sin[2(x х + a)]}. (5.34)

    Таким образом, в рамках принятых допущений  решение задачи (5.21) - (5.23), в виде зависимостей (5.26), (5.28), (5.30), (5.31), (5.34) по проекциям скорости, координатам и уравнению траектории моделирующей частицу точки в рабочем объеме пневмосепаратора получено полностью. На базе данных зависимостей может быть реализован полный конструктивный анализ кинематики частицы в рабочей полости вертикального пневмосепарирующего канала при немалых значениях числа Рейнольдса.

Так, если L - ширина канала, то на основе формулы (5.32) определяется время Т достижения частицей противоположной стенки канала (эффективное время  осаждения частицы на вертикальной стенке):

T  = ln[tg²(a + x L) c ]/ a.                                                                       (5.35)

    Поскольку эффективность работы сепаратора в некоторых случаях оценивают, в основном, по содержанию тяжелых частиц в зоне осаждения лёгких частиц (примесей), то анализ эволюции дисперсности взвеси проводят  по поведению  траектории ОАВ (рис. 5.3) именно для этого компонента смеси. Данную траекторию, как и размер частицы, движущейся по этой линии, в теории сепарирования жидкостных и газовых смесей называют, соответственно, критической траекторией и   критическим диаметром d _к частицы. При этом критический диаметр d _к частицы является корнем   уравнения траектории, проходящей через точку В (L, 0), координаты которой удовлетворяют   (5.11):

    U ln[ c ^1/2tg(x L + a)] + b ln{(c + 1)sin[2(x L + a)]/(2 c ^1/2)] = 0, (5.36)

где d _к входит в уравнение (5.36) через параметры

    а = 2(gk)^1/2, b = (g / k)^1/2, 2 b/a = 1 /k, c = (b + w ₀)/(b - w ₀),

    x = ac ^1/2/[2 V_{x 0}(с + 1)], k = 0.75 с_у (r_в/r_ч)/ d _к.

    Учитывая, что уравнение (5.36) зависит от d _к неявным образом, данный параметр определяли численным путем как корень трансцендентного уравнения по d _к. Причем, при выполнении вычислений, например, в такой операционной системе как MATH С AD, выкладки, связанные с получением в явной форме уравнений типа (5.36), проводили в символьном виде.

    При этом  согласно определению понятия критического диаметра d _к частицы, размером больше d _к, отводятся вниз, а размером меньшим d _к - уходят с потоком воздуха в зону осаждения лёгких частиц. В свою очередь,  если эффективность процесса сепарирования смеси базируется на понятии критической скорости витания v _к частицы, то частицы, движущиеся со скоростью меньшей критической, отводятся в зону целевого продукта, а  движущиеся со скоростью больше критической - в зону осаждения лёгких частиц.

С целью сопоставить результатов расчетов по количественному моделированию кинетики смеси в вертикальном пневмосепарирующем канале будем предполагать, что все частицы смеси имеют сферическую форму диаметром d, причем, аэроотделимые примеси характеризуются значением аэродинамического коэффициента сопротивления с_{у l} = 1,2 (условно - легкий компонент смеси), а целевого продукта - значением с_{у s} = 0,8 (условно - тяжелый компонент смеси). Что близко к имеющим место данным величинам в практических условиях.

 И пусть плотность частицы смеси r_п  = 1200 кг/м³; плотность воздуха r_в = 1.3 кг/м³; масса частицы m = 3×10^{-5 кг; скорость потока  воздуха} U = 6 м/с; скорость подачи  смеси V ₀ = 0,5 м/с; угол подачи  смеси j = - 45°.

Из анализа графиков на рис. 5.3 (кривая 1) видно, что тяжелые частицы крупностью d  = 1×10^{-3 м уходят в з}ону осаждения лёгких частиц, а более крупные размером - d = 2×10^{-3 м и} d  = 3×10^{-3 м} (кривые 2,3) - опускаются, и в дальнейшем отводятся из рабочего объема. В свою очередь, легкие частицы крупностью d = 1×10^{-3 м и} d = 2×10^{-3 м отводятся в з}ону осаждения лёгких частиц, а размером - d = 3×10^{-3 м - опускаются. Как видно из анализа кривых 4 на рис.} 5.3 а, б, соответствующих траекториям тяжелых и легких частиц критическими диаметрами d = d _к, частицы этих размеров для обеих фаз смеси  практически находятся во взвешенном состоянии.

Помимо этого  по данным расчетов можно заключить, что частицы тяжелого компонента смеси в горизонтальном направлении движутся быстрее, а в вертикальном направлении - медленнее, чем частицы аэроотделимой примеси. Эта особенность перемещения частиц обусловлена большей “парусностью” частиц с большим значением аэродинамического коэффициента сопротивления с_у у аэроотделимой примеси.

 (а)

2

4

3

1

 

 (б)

 

                                                       

 

1

3

4

2

 

Рис. 5.3

Траектории частиц (r_п  = 1200; r_в = 1,3 кг/м³; L = 0.14 м; U = 6 м/с;                V ₀ = 0,5 м/с; j = -40°): (а) - целевого продукта (с _s = 0,8) -   1      - d = 1´10^{-3 м; 2 -} d = 2´10^{-3 м; 3 -} d = 3´10^{-3 м; 4 -}   d  = d _к = 1,70´10^-3 м); (б) - аэроотделимой примеси (с _l = 1.2) - 1 - d = 1´10^{-3 м; 2 -} d = 2´10^{-3 м; 3 -} d  = 3´10^{-3 м; 4 -} d  = d _к = 256 ´10^{-3 м)}

 

Подробный количественный анализ на базе  формул (5.26), (5.28), (5.30), (5.31) выявляет заметную зависимость результатов расчетов траекторий частиц от величин скоростей U и V ₀.

Исходя из формул (5.26) и (5.32), значение вертикальной составляющей V _у (Т) скорости частицы в момент достижения ею стенки канала, имеет вид

V _у (Т) =  U + w = U + b (c - e^at)/(c + e^at)ç_t=T =

              = U + b ×cos{2[arctg(c ^-1/2) + x L)]}.                             (5.37)

На основе рассчитанного по (5.36) значения d _к,   а также формул (5.32), (5.35) находят выражение скорости V _В для частицы в точке В:

    V _В = (V _Вх ²  + V _Ву ²)^1/2 » V _Ву,                                                  (5.38)

где  проекции V _Вх, d _к по осям координат вектора скорости V _В вычисляются по формулам (5.14), (5.16) при х = L.

Растительной природы

    Фильтрованием в производствах АПК называют такой механический процесс, когда разделение гетерогенной жидкостной системы биологического происхождения осуществляют при помощи пористой перегородки. Путем фильтрования проводят первичную обработку молока, посол сыров, брынзы, мясных продуктов, подвергают регенерации солевые растворы, осуществляют пропитку фруктов сиропами, отводят раствор сахара из утфеля, обезвоживают осадки сточных вод и другое. В настоящее время в связи с созданием перегородок мембранного типа с диаметром отверстий порядка величины молекул жидкости появилась возможность использовать фильтрование как процесс выделения из жидкости весьма высокой дисперсности (гиперфильтрование), в том числе и клеточных организмов в микробиологическом производстве.

Фильтрование суспензий является одним из сложных процессов, зависящим от большого числа геометрических и физико-химических параметров, что препятствует адекватному обоснованию математического моделирования фильтрования. До сравнительно недавнего времени основным подходом к решению проблем фильтрования суспензий биологического происхождения считается гидравлический, когда в основу анализа конкретных задач полагают закон сохранения массы (уравнение неразрывности) и феноменологические соотношения типа закона Дарси или других. Наряду с гидравлическим, за последние годы все более широкое распространение получает подход, основанный на использовании фундаментальных уравнений механики многокомпонентных взаимопроникающих сред в совокупности с уравнениями фильтрационной консолидации. Такой подход условно считают гидродинамическим.

    Решающую роль в процессе фильтрования играют свойства подвергаемых разделению биологических жидкостей, такие как плотность, вязкость, химическая активность, а также такие факторы как крупность и форма частиц и их электрокинетические свойства. Помимо этого, существенное влияние на процесс фильтрования оказывает такой параметр как объемная концентрация твердого в суспензии. В зависимости от степени концентрации твердой фазы в жидкостной смеси различают следующие виды фильтрования: с образованием осадка, промежуточное, с закупориванием пор осадком, с постепенным, а также полным закупориванием пор фильтровальной перегородки. Постепенное, либо полное закупоривание пор фильтрующих элементов обычно наблюдают при фильтровании мало концентрированных суспензий, тогда как фильтрование с образованием осадка   имеет место при разделении суспензий со средним и высоким уровнем концентрации твердого.

    Образующиеся при фильтровании суспензий осадки представляют собой весьма сложную многокомпонентную систему, структура которой состоит из различающихся по своей природе размерам и форме твердых частиц (твердая фаза), жидкости, пузырьков газа (жидкая и газовая фазы). В зависимости от размеров частиц, составляющих осадок, твердые частицы в большей или меньшей степени подвержены действию внешних и внутренних сил. Внутренние силы обусловливают связи между дисперсными частицами и агрегатами из этих частиц. Согласно классификации, данной акад. П.А. Ребиндером, образованные в процессе фильтрования связи относят к коагуляционным, конденсационно-кристаллизационным или смешанным коагуляционно-кристаллизационным. Если прочность коагуляционных структур, образованных в высокодисперсных суспензиях, обусловлена ван-дер-ваальсовыми силами сцепления, сравнительно невелика, то после разрушения этих структур и перехода их в коагуляционно-кристаллизационные, получают механические системы с прочными связями, обладающими способностями пластических сред.