Основное уравнение гидростатики

Основное уравнение гидростатики получают из дифференциаль­ных уравнений равновесия жидкости. Рассматривают равновесие жид­кости, находящейся в относительном покое. В этом случае на нее действуют массовые силы - силы тяжести и инерции - и поверх­ностные - сила гидростатического давления. Из всего объема жидкости выделяют элементарный параллелепипед объемом dV.

Ребра параллелепипеда d х, d у, dz располагают параллельно осям х, у, z (рис. 1.1). Среднее значение силы гидростатичес­кого давления, действующей на каждую грань со стороны окружа­ющей жидкости, равна произведению гидростатического давления р (х, у, z) на площадь грани параллелепипеда.

Соста­вляют сумму проекций на оси х, у, z всех сил, действующих на элемен­тарный параллелепипед.  Если  обозначить проекции на оси х, у, z всех, отнесенных к единице массы, массовых сил через X, Y, Z то, например,   проек­ция объемных сил на ось х будет равна Q _x = Х d т, где масса жидкости d т = r d х d у dz, или dQ _x = Х r d х d у dz. Согласно условию равновесия  сумма проекций всех сил, действующих на жидкость, в случае покоя равна нулю.

Поэтому сумма проекций сил на ось х

p d у dz - (p + ) d у dz + Х r d х d у dz = 0,                           (3.1)

где p d у dz - сила гидростатического давления, действующего на левую грань; ¶ p / ¶ x - изменение гидростатического давления в данной точке по оси х;  - изменение гидростатического давления по длине ребра d x.

Тогда гидростатичес­кое давление на пра­вую грань будет равно

p + , а проекция средней силы гидроста­тического давления на ось х (p + ) dydz.

После раскрытия скобок и сокращения на основе выражения (3.1) имеют

   -  + Х r = 0.

    Аналогично, получают уравнения равновесия по осям y  и z

-  + Y r = 0,

-  + Z r = 0.

y

x

z

Mz+dz

p

р

p   gdm

р+ (¶ р /¶ х) dx

My+dy

р+ (¶ р /¶ y) dy

р+ (¶ р /¶ z) dz

Рис. 2.1

   Или, в сово­купности

   -  + Х r = 0,

-  + Y r = 0,                                                                   (3.2)

-  + Z r = 0.

 

Гидродинамика

Общие положения

В зависимости от закономерностей движения жидкости разли­чают установившееся и неустановившееся движение.

При установившемся движении скорости, ускорения частиц жид­кости, давления, глубины не меняются во времени (¶ v / ¶ t = 0, ¶ р/ ¶ t  = 0 и т. д.), а являются только функцией координат, т. е. зави­сят лишь от положения в потоке жидкости рассматриваемой точки:

v = f ₁(x, y, z); p = f ₂(x, y, z),

где v - скорость движения жидкости; р - давление.

При неустановившемся движении скорость и давление потока являются функциями как координат, так и времени:

v = f ₁(x, y, z, t); p = f ₂(x, y, z, t).

Установившееся движение потоков характерно для непрерыв­ных процессов, а неустановившееся - для периодических.

Установившееся движение может быть равномерным и неравно­мерным.

Равномерное движение имеет место, когда скорость, давление, глубина и форма потока не меняются по длине потока. Примером равномерного движения является движение жидкости в трубопро­воде постоянного сечения с постоянной скоростью.

Неравномерное движение происходит, например, в конической трубе, когда скорость, давление и глубина потока меняются по длине трубы.

Если рассмотреть поперечное сечение потока жидкости и мысленно представить его состоящим из отдельных элементарных струек, то окажется, что частицы жидкости, находящиеся в струй­ках, расположенных на различном расстоянии от оси потока, дви­жутся с различными скоростями.

Скорость движения жидкости будет максимальной по оси потока и минимальной в струйках у стенки трубы. Распределение скоростей в потоке зависит от режима движения жидкости.