В  центрифуге периодического действия

В дальнейшем, в целях обоснования математической модели процесса, предполагают, что ротор центрифуги приведен во внезапное вращательное движение с угловой скоростью w,  а ограниченный областью r ₀ £ r £ R (где r ₀ и R, соответственно,  радиус свободной поверхности жидкости и радиус ротора) поток движется как квазитвёрдое тело (рис. 6.3). При этом показано, что интродуцированная в данный поток  частица небольшого размера движется практически по  радиусу с небольшой скоростью.

Для того чтобы обосновать выражение текущего критического диаметра тонкодисперсной частицы, формально,  силу тяжести G заменяют центробежнойсилой

              F _цб = V r_тw² r,

где r - радиальная координата, и, в таком случае согласно принципу Даламбера записывают

    F _цб+ F _Ар + F _c = 0,                                                                  (6.10)

где F _Ар, F _c - соответственно, сила Архимеда и сила сопротивления.

 

w

 

r 0

                                 w                        

                                             

                                                                                    

r

o

                                              

                                                              

 

 

R

                                

                                                           

 

                                          Рис. 6.3

 

    Если, для определённости, принимать r_т > r_ж, то в проекции на радиальное направление, уравнение (6.10) принимает вид

    V Drw² r + F _c = 0.                                                                               (6.11), где Dr = r_т - r_ж > 0.

    При этом для исследуемого кинетического процесса выражение силы сопротивления   F _c выбирают в зависимости от величины числа Рейнольдса Re. Для значений Re < 1 полагают, что F _c, согласно формуле Стокса, пропорционально первой степени величины местной скорости частицы (т.е. скорости частицы относительно потока), для значений Re > 1 - пропорционально степени, большей единицы.  Если рассматривают процесс седиментации высокодисперсныхчастиц, то условие Re < 1 обычно выполняется, и поэтому, в принятых по характеру кинематики потока допущениях, силу сопротивления движению частицы рассчитывают в соответствии с  формулой Стокса

    F _c = -3pmd v,                                                                              (6.12)

где Dr, m и d имеют тот же смысл, что и ранее, по тексту, v = v_r - радиальная скорость частицы.

Тогда, подставляя (6.12) в (6.11), получают

                                                                                     (6.13)

где

    k =                                                                                   (6.14)

    Исходя из дифференциального уравнения движения частицы, вследствие (6.13) имеют

   

откуда, разделяя переменные

                                                                                       (6.15)

    Интегрируя (6.15) слева по r в пределах от r до R, справа по t от 0 до t,  находят частное решение уравнения (6.15)

                                                                                       (6.16)

откуда получают выражение текущего критического диаметра частицы как функции координаты r и времени t

                                                                         (6.16)

Физический смысл определяемой по (6.16) величины заключается в том, что при одинаковых условиях по начальным данным, частица диаметром    d¢ > d достигнет стенку ротора быстрее, чем частица диаметром d.

Проводя проверку на асимптотику формулы (6.16), при lim _{r ® R} d_к = 0,          lim _{t ®¥}d_к = 0, lim _{t ®0}d_к = ¥, убеждаются в согласии величины текущего критического диаметра частицы d_к физическому смыслу исследуемого явления.

    Из формулы (6.16) вытекает выражение для критического диаметра осадительной  центрифуги в виде функции от времени t и физико-механических и геометрических параметров анализируемого процесса    

    d_к  =                                                                        (6.17)

    В свою очередь, из формулы (6.17) следует зависимость времени Т   осаждениячастицы от значения d_кр  

                                                                                   (6.18)

    Для того чтобы получить интегральную характеристику по количеству оседающих на стенке ротора частиц из цилиндрического объёма     r ₀ £ r £ R и единичной высоты, выделяют элементарную трубку  радиусами r, r + d r и той же высоты (рис. 6.4).

    Причём, из выделенного объёма (r, r + d r) суспензии за время t осаждается количество частиц, равное

d n ₁ = (2p r d r) n ₀ Ф [d(r, t)],                                                           (6.19)

где Ф (d) = 1 - F (d), F (d), Ф (d) - соответственно, счётная и характеристическая функции распределения частиц по крупности.

    Интегрируя (4.11) слева по числу n оседающих частиц, а справа - по r - по толщине потока, имеют

                                                                   (6.20)

r 0

r

dr

R

o

                                          Рис. 6.4

    С другой стороны, так как тот же объём суспензии включает  p(R ² - r ₀²) n ₀ частиц, то в качестве счётного коэффициента осветления, в силу (6.20), получают

                                                   (6.21)

а в качестве   счётного коэффициента уноса  

                                                   (6.22)

где n ₂(t) - количество частиц в осветлённой суспензии (фугате) в том же объёме ротора.

    Принимая во внимание формулу (6.20), например, для коэффициента уноса e получают в явной форме

                                     (6.23)

    Учитывая, что, по определению, F (0) = 0, F (¥) = 1, проверкой на асимптотическое поведение по времени коэффициента уноса (6.23)

   

   

убеждаются в согласии с физическим смыслом данного коэффициента.

    Кроме того, поскольку F ¢(d) > 0, R > r, то в соответствии с (6.23) частная производная по времени коэффициента уноса

     =

    < 0,

то, как и должно быть, коэффициент уноса  быстро убывает с течением времени (суспензия осветляется с ростом времени), с порядком убывания О (t ^-3/2).

    Соответственно, при тех же условиях, коэффициент осветления h(t)  - возрастающая функция t.

    Принимая во внимание формулу (6.18), выражению (6.23) придают удобный для расчётов вид

                                               (6.24)

    Формулы (6.21) - (6.24) полагают в основу количественного анализа процесса осаждения  высокодисперсныхчастиц в роторе центрифуги периодического действия.