Устойчивость рекурсивных  ЦФ.

  Рекурсивный ЦФ является дискретным аналогом динамической системы с обратной связью, поскольку в ячейках памяти хранятся значения его предшествующих состояний. Если заданы некоторые начальные условия, т.е. совокупность значений  то в отсутствие входного сигнала фильтр будет образовывать элементы бесконечной последовательности  играющей роль свободных колебаний.

Цифровой фильтр называется устойчивым, если возникающий в нем свободный процесс есть невозрастающая последовательность, т.е. значения  при  не превышают некоторого положительного числа M независимо от выбора начальных условий.

Свободные колебания в рекурсивном ЦФ на основании алгоритма (15.5) являются решением линейного разностного уравнения

По аналогии с принципом решения линейных дифференциальных уравнений будем искать решение (15.12) в виде показательной функции

с неизвестным пока значением  Подставив (15.13) в (15.12) и сократив на общий множитель, убеждаемся, что  является корнем характеристического уравнения

На основании (15.6) это уравнение в точности совпадает с уравнением, которому удовлетворяют полюсы системной функции рекурсивного ЦФ.         

Пусть система корней  уравнения (15.14) найдена.Тогда общее решение разностного уравнения (15.12) будет иметь вид

                                                              

Коэффициенты  должны быть подобраны так, чтобы удовлетворялись начальные условия.

Если все полюсы системной функции , т.е. числа                             по модулю не превосходят единицы, располагаясь внутри единичного круга с центром в точке  то на основании (15.15) любой свободный процесс в ЦФ будет описываться членами убывающих геометрических прогрессий и фильтр будет устойчив. Ясно, что практически применяться могут только устойчивые цифровые фильтры.

Раздел 16. Введение в вейвлет-преобразования сигналов

16.1 Понятие вейвлет-преобразования. Основные вейвлеты, применяемые в системах связи.

Если сигнал не имеет чёткого периодического характера, то алгоритмы преобразования Фурье становятся менее эффективными.

Эта проблема в последние годы решается с помощью нового подхода в теории и технике сигналов – вейвлет–анализа.

Wavelet – в переводе с английского “небольшая волна” или “небольшое колебание”. Смысл данного термина – в наглядно-образной форме указать на те требования, которым обязана соответствовать некоторая функция
 для того, чтобы принадлежать к этому классу:

- график такой функции должен осциллировать вокруг нуля в окрестности точки на оси t, причем

- норма функций должна быть конечной:

 

 На рисунках представлены образцы функций с помощью которых в рамках вейвлет–анализа можно представлять дискретные и непрерывные сигналы.

Конкретный выбор того или иного вейвлета целиком зависит от характера поставленной задачи и от вида анализируемого сигнала.

 

Дискретный вейвлет-анализ.

 В основе дискретного вейвлет–анализа лежит использование исходного (или порождающего) вейвлета Хаара. Эта функция существует на отрезке [0,1] и принимает одно из двух возможных значений.

                                                                (16.1)

 - безразмерное время

Ортонормированная базисная система вейвлетов Хаара строится за счёт операций сдвига во времени и изменения временного масштаба.

Тогда сигнал можно разложить в ряд по этим функциям, следующим образом:

На основании предыдущего, коэффициенты  являются скалярными произведениями исходного сигнала и соответствующей базисной функции:

Данный ряд отличается от изучавшегося ранее тем, что суммирование производится не по одному, а по двум индексам.

Вейвлет – спектр сигнала, принимающего вещественные значения, можно образно представить себе как некоторый “лес” из вертикальных отрезков, размещенных над j k – плоскостью в точках с целочисленными координатами. При этом координата j указывает на скорость изменения сигнала, а координата k – на положение вдоль оси времени.

 

16.3 Непрерывное вейвлет-преобразование

Для анализа непрерывных сигналов пользуются непрерывными вейвлетами.

Примером может служить вейвлет типа “сомбреро”:

Вейвлет–преобразованием  является функция двух переменных:

По своему смыслу вейвлет–преобразование соответствует преобразованию Фурье, только вместо функции  используется вейвлет .

Вейвлет–преобразование является функцией двух аргументов, первый из которых аналогичен периоду колебания (т.е. обратной частоте), а второй – смещению сигнала вдоль оси времени.

Обратное вейвлет–преобразование:

Вейвлет–анализ особенно эффективен при решении задач сжатия и распознавания сигналов. Алгоритмы вейвлет–анализа представлены в составе прикладного пакета Mathlab.

 

Содержание.

 

 Раздел 1. Основы анализа сигналов.                                                               4

 Раздел 2. Основы спектрального анализа сигналов                                  8

 Раздел 3. Аналитический сигнал и преобразования Гильберта                  23

 Раздел 4. Основы корреляционного анализа сигналов                                28

 Раздел 5. Основные элементы цифровой обработки сигналов                   33

 Раздел 6. Математические модели приема сигналов на фоне помех         39

 Раздел 7. Математические модели приема сигналов на фоне помех              44

(окончание)

 Раздел 8. Основные сведения о шумоподобных сигналах                        52

 Раздел 9. Основы теории разделения сигналов                                         62

 Раздел 10. Основные положения теории передачи информации                70

 Раздел 11. Принципы оптимальной обработки сигналов на фоне помех 85

 Раздел 12. Принципы оптимальной обработки сигналов на фоне помех      93

(продолжение)

 Раздел 13. Принципы оптимальной обработки сигналов на фоне помех     104     (окончание)

 Раздел 14. Основы цифровой обработки сигналов                                      109

 Тема 15. Основы цифровой обработки сигналов (окончание)                114

 Раздел 16. Введение в вейвлет-преобразования сигналов                            119