Раздел 1. Основы анализа сигналов.

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОСВЯЗИ

Конспект лекций

 

 

2014 г.

 

 

Предмет: «Теория электросвязи».

Целью дисциплины является изучение основных закономерностей и методов передачи информации по каналам связи. Рассматриваются математические модели сообщений, сигналов и помех, методы формирования сигналов и их преобразования в каналах связи, принципы построения систем связи, их характеристики и вопросы оптимизации.

 

 

Литература:

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Высшая школа, 2000-448с.

2. Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Назаров М.В. Финк Л.М. Теория передачи сигналов. – М.: Радио и связь, 1986-304с.

3. Теория электрической связи. Под редакцией Кловского Д.Д. – М.: Радио и связь, 1999-432с.

4. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы – М.: Советское радио, 1986.

5. Клюев Л.Л. Теория электрической связи – Мн.: Дизайн ПРО, 1998-336с.

6. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач – М.:: Высшая школа, 1987-206с.

7. Кловский Д.Д., Шилкин В.А. Теория передачи сигналов в задачах – М.: Радио и связь, 1990-280с.

8. Заездный А.М. Основы расчётов по статистической радиотехнике. М.: Связь, 1969.

9. Горяинов В.Т., Журавлёв А.Г. Тихонов В.И. Примеры и задачи по статистической радиотехнике – М.: Советское радио, 1980

10. Прокис Дж. Цифровая связь. Пер. с англ. / Под редакцией Д.Д. Кловского – М. Радио и связь, 2000 – 1000с.

11. Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции расширенных спектров. – М.: Радио и связь. 2000 – 520с.

12. Борисов В.И., Зинчук В.М. и др. Помехозащищённость систем радиосвязи / Под ред. Борисова В.И. – М.: Радио и связь, 2003-640с.

13. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение, 2-е изд.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2003-1104с.

14. Каганов В.И. Радиотехника + компьютер + Math CAD. М.: Горячая линия, 2001.

15. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи. Под редакцией И.С. Гоноровского – М. «Радио и связь», 1989.

16. Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. Москва, «Радио и связь», 1985.

 

 

Раздел 1. Основы анализа сигналов.

Раздел 2. Основы спектрального анализа сигналов

Теоремы о спектрах

 

Как известно спектральная плотность и сигнал связаны между собой парой преобразований Фурье:

 

                                                                    (2.1)

                                                              (2.2)

 

Все свойства спектральной плотности объединены в основных теоремах о спектрах.

I.Свойство линейности.

Если имеется некоторая совокупность сигналов  причём ,…, то взвешенная сумма сигналов преобразуется по Фурье следующим образом:

                                                               (2.3)

  Здесь - произвольные числовые коэффициенты.

 

II. Теорема о сдвигах.

Предположим, что для сигнала  известно соответствие . Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на  секунд позднее. Принимая точку  за новое начало отсчёта времени, обозначим этот смещённый сигнал как . Введём замену переменной: . Тогда ,

       (2.4)

 Модуль комплексного числа  при любых  равен 1, поэтому амплитуды элементарных гармонических составляющих, из которых складывается сигнал, не зависят от его положения на оси времени. Информация об этой характеристике сигнала заключена фазовом спектре.

III. Теорема масштабов.

Предположим, что исходный сигнал  подвергнут изменению масштаба времени. Это означает, что роль времени  играет новая независимая переменная  ( - некоторое вещественное число.) Если > 1, то происходит “ сжатие” исходного сигнала; если же 0< <1, то сигнал “растягивается” во времени. Если , то:

Произведём замену переменной , тогда , откуда следует:

                                                                                        (2.5) 

При сжатии сигнала в  раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в  раз.

Очевидно, что при растягивании сигнала во времени (т.е. при <1) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

IV.Теорема о спектре производной и неопределённого интеграла.

Пусть сигнал  и его спектральная плоскость  заданы. Будем изучать новый сигнал  и поставим цель найти его спектральную плотность .

По определению:

Преобразование Фурье – линейная операция, значит, равенство (2.3) справедливо и по отношению к спектральным плотностям. Получаем по теореме о сдвигах:

                                              (2.6) 

 

Представляя экспоненциальную функцию рядом Тейлора:      

подставляя этот ряд в (2.6) и ограничиваясь первыми двумя членами ряда, находим

                                   (2.7)

Итак, дифференцирование сигнала по времени эквивалентно простой алгебраической операции умножения спектральной плотности на множитель . Поэтому говорят, что мнимое число  является оператором дифференцирования, действующим в частотной области.

Вторая часть теоремы. Рассмотренная функция  является неопределённым интегралом по отношению к функции . Интеграл это есть , значит - его спектральная плотность, а  из формулы (2.7) равна:

                                                                                      (2.8)

Таким образом, множитель  служит оператором интегрирования в частотной области.

V. Теорема о свёртке.

Как известно, при суммировании сигналов их спектры складываются. Однако спектр произведения сигналов не равен произведению спектров, а выражается некоторым специальным интегральным соотношением между спектрами сомножителей.

Пусть  и - два сигнала, для которых известны соответствия , . Образуем произведение этих сигналов:  и вычислим его спектральную плотность. По общему правилу:

                                          (2.9)

Применив обратное преобразование Фурье, выразим сигнал  через его спектральную плотность и подставим результат в (2.9):

Изменив порядок интегрирования, будем иметь:

откуда:

                                                      (2.10)

Интеграл, стоящий в правой части называют свёрткой функций  и . Символически операция свёртки обозначается как *

Таким образом, спектральная плотность произведения двух сигналов с точностью до постоянного числового множителя равна свёртке спектральных плотностей сомножителей:

                                                       (2.11)        

Операция свёртки коммутативна, т.е. допускает изменения порядка следования преобразуемых функций:

                  

Теорема о свёртке может быть обращена: если спектральная плотность некоторого сигнала представляется в виде произведения , причём

 и , то сигнал  является свёрткой сигналов  и , но уже не в частотной, а во временной области:

                                                                          (2.12)

VI.Теорема Планшереля

Пусть два сигнала  и , в общем случае комплексные, определены своими обратными преобразованиями Фурье:

,

Найдём скалярное произведение этих сигналов, выразив один из них, например , через его спектральную плотность:

                                        

Здесь внутренний интеграл представляет собой спектральную плотность  сигнала  поэтому:

                                                         (2.13)

Скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.

2.2. δ-функция и ее свойства.

Многие задачи радиотехники, например вычисление отклика физической системы на известное входное воздействие, требуют специфической формы представления сигналов. Необходимо не только располагать информацией о мгновенном значении сигнала, но и знать его поведение на всей временной оси как «в прошлом», так и «в будущем».

Принцип динамического представления состоит в следующем. Реальный сигнал приближенно представляется суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Если теперь устремить к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то, естественно в пределе будет получено точное представление исходного сигнала

Широкое применение нашли два способа динамического представления. Согласно первому из них в качестве элементарных сигналов используются ступенчатые функции, возникающие через равные промежутки времени ∆

В нашем курсе будет постоянно использоваться аппарат дельта - функций. Дельта- функция как раз и является математической моделью короткого внешнего воздействия с единичным импульсом (площадью).

Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом:

                                                                                               υ

где:  - функция включения:                                                       νξ

При любом выборе параметра ξ площадь этого                         

импульса   равна единице:                                                                              t   

                                                                                                               

                                                                   0

       

Например, если υ – напряжение, то  В·с.

Пусть теперь величина ξ стремится к нулю.                           δ (t-t₀ )

Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет

свою площадь, поэтому его высота должна

неограниченно возрастать. Предел последовательности

таких функций при  носит название дельта- функции                      t

или функции Дирака:                                                                          

                                                                                                               t₀            

      Дельта-функция интересный математический             Графическое изобра-

объект. Будучи равной нулю всюду, за исключением     жение δ-функции

 точки (принято говорить, что она сосредото-

чена в этой точке), δ- функция тем не менее обладает единичным интегралом:

 

                 

 

т.е. площадь, ограниченная дельта - функцией, равна единице.

   Полезным для расчетов является фильтрующее свойство δ-функции, которое заключается в следующем. Интеграл от произведения от некоторой функции u (t) на δ-функцию равен значению этой функции при   t, для которого   δ(t) ≠ 0.

 Например:

 Согласно (2.1) спектральную плотность δ-функции можно представить в виде:

  Можно  представить также  в виде обратного преобразования Фурье  от = :

    По аналогии с выражением (2.15) можно представить δ-функцию в частотной области:

 

 

 

 

Используя (2.16) можно получить представление спектральной плотности для ряда неинтегрируемых сигналов.

1) Спектральная плотность постоянного по времени сигнала

 

2) Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала

=2

3) Спектральная плотность гармонических колебаний:

,

,

4) Спектральная плотность произвольного периодического сигнала

 

5) Спектральная плотность функции включения

                

6) Спектральная плотность радиоимпульса

Применяя теорему о свертке и фильтрующее свойство δ-функции, получим:

Рис. 9.1 Укрупненная структурная схема многоканальной системы связи: 1 - формирователь группового сигнала; 2 – передатчик; 3 – линия связи; 4 – приемник; 5 – селектор канальных сигналов; 6 – групповой канал

Ширина спектра группового сигнала по сравнению с шириной спектра первичных сигналов увеличивается не менее чем в N раз. Расширение ширины спектра нежелательно главным образом по двум причинам:

1) Из-за ограниченности частотного диапазона линии связи;

2) Из-за возрастания сложности аппаратуры, следовательно, и ее стоимости.

Однако расширение ширины спектра является неизбежной платой за возможность разделения канальных сигналов.

Передатчик служит для согласования группового сигнала с параметрами линии связи. С этой целью групповой сигнал преобразуется в линейный u _л (t).

В приемнике линейный сигнал u _л ^* (t) преобразуется в групповой u ^* (t). В селекторе канальных сигналов, который является многоканальным приемником, из группового сигнала выделяются канальные сигналы u_i ^* (t), i =1,2,…, N. Эти сигналы затем преобразуются в первичные сигналы   a_i ^* (t), i =1,2,…, N.   Если работу k -го канального приемника описать линейным оператором L_k, то сигнал на его выходе при отсутствии помех в линии связи

 

                                   

Для разделения сигналов нужно выполнить условия:

 

             

[ (t)] =                                                                                    (9.2)

               0,

 

Если записать сигнал k -го канала в виде

где  - функция переносчика;  - некоторый коэффициент, отображающий  передаваемое сообщение, то выражение (9.2) можно записать также в виде:

 

             

[ (t)] =                                                                                    (9.3)

        0,

 

В частном случае откликом на сигнал  может быть некоторое число однозначно связанное с  При выполнении условий (9.2) идеальное k -е приемное устройство реагирует только на сигнал  и не откликается на остальные, т.е. обладает свойством избирательности.

9.3 Фазовое разделение сигналов строится с использованием различия сигналов по фазе.

Пусть информация в N каналах передается изменением амплитуды непрерывных косинусоидальных сигналов с одинаковой несущей частотой ω₀. Требуется разделить эти сигналы с использованием только различия в их начальных фазах.

Сигналы равны:

 

                                                      (9.4)

……………………………….

 

Как показывает анализ, различение сигналов возможно, если система содержит только два канала, по которым передаются косинусная и синусная составляющие:

а выделение первичных сигналов производится с использованием синхронного детектирования.

 

9.4 Разделение сигналов по форме.  Кроме сигналов с неперекрывающимися спектрами и сигналов, неперекрывающихся по времени, существует класс сигналов, которые могут передаваться одновременно и иметь перекрывающиеся частотные спектры.

Разделение этих сигналов принято называть разделением по форме.

К числу таких сигналов относятся последовательности Уолша, Радемахера и разнообразные шумоподобные последовательности.

Последовательности Уолша и Радемахера строятся на базе кодового алфавита 1, -1, а любые пары этих последовательностей удовлетворяют условию

 

                          E_i , i = j,

 

                        0, i ≠ j,

где  - сигналы i - го и j - го каналов системы с временным разделением, T - интервал времени, в котором располагаются канальные сигналы, причем T =  где   F _В – верхняя граничная частота спектра передаваемого сообщения.

Применение кодов Уолша и Радемахера связано с передачей по каналу специальных синхросигналов для поддержания определенных временных соотношений между принимаемыми и опорными кодовыми словами.

В случае использования шумоподобных последовательностей необходимости в передаче специальных синхросигналов нет, так как эту роль могут выполнять последовательности-переносчики информации.

Шумоподобные сигналы должны удовлетворять следующим условиям:

 

                          E, τ = 0,

0, - τ _и > τ > - T,               

                                                                  T > τ > τ _и,             (9.5)

 

                      0, i ≠ j,                                 (9.6)

 

для - длительность шумоподобного сигнала; E – энергия сигнала; τ _и – длительность единичного интервала шумоподобного сигнала.

При выполнении условий (9.5) обеспечивается работа системы синхронизации без передачи специального синхросигнала, так как автокорреляционная функция любого канального сигнала имеет ярко выраженный пик при τ = 0  и нулевые значения при сдвиге  При выполнении условий (9.6) обеспечивается разделение канальных сигналов, так как взаимокорреляционная функция для любой пары сигналов равняется нулю.

К сожалению, скалярные произведения (9.5) для  и (9.6) для реальных сигналов не равны нулю. Это приводит к снижению достоверности разделения сигналов.

Структурная схема многоканальной системы связи с разделением сигналов по форме приведена на рис.9.2.

Рис.9.2 Структурная схема многоканальной системы связи с разделением сигналов по форме: 1- генератор тактовых импульсов; 2- генератор шумоподобного сигнала; 3-АЦП; 4- перемножитель;; 5,6 – модуляторы; 7 – сумматор; 8 – передатчик; 9 – линия связи; 10 – приемник; 11 – согласованный фильтр; 12 – решающее устройство; 13 – ЦАП; 14,15 - демодуляторы

 

Передающая часть системы содержит   N   идентичных модуляторов, сумматор и передатчик. В модуляторах в качестве несущих колебаний  используются шумоподобные сигналы, а в качестве модулирующих – сфазированные с этими сигналами двоичные кодовые последовательности с выхода АЦП. Период шумоподобных сигналов выбирается равным длительности единичного элемента кодового слова с выхода АЦП. В процессе модуляции символу «1» двоичного кодового слова (диаграмма а на рис.9.3) соответствует полный период шумоподобного сигнала  (диаграмма б), а символу «0» - отсутствие этого сигнала. Если   F _с – верхняя граничная частота спектра  первичного сигнала, а   L – число уровней квантования, то ширина спектра сигнала на выходе перемножителя (см. схему на рис. 9.2)

                                      (9.7)

Где  - длина (период) шумоподобной последовательности.

Как видно из формулы (9.7) ширина спектра каждого канального сигнала в  раз больше ширины спектра ИКМ сигнала.

Отметим, что каждый канальный сигнал имеет свою форму, а временные процессы, протекающие в каналах, могут быть независимы. Групповой сигнал на выходе сумматора, равный сумме канальных сигналов, представляет собой случайный процесс, среднее значение и дисперсия которого зависит от загрузки отдельных каналов.

 

Рис.9.3. Временные диаграммы, поясняющие работу схемы, приведенной на рис.9.2

 

Приемная часть системы содержит приемник и   N  идентичных канальных приемников (демодуляторов). В структуру каждого демодулятора входит сргласованный фильтр, решающее устройство и ЦАП.

Каждый из согласованных фильтров откликается только на тот сигнал, с которым он согласован. Например, согласованный фильтр 11 первого канала откликается на сигнал, который формируется в первом модуляторе (рис.9.3, б). Отклик фильтра показан на рис.9.3, в. Сигналы других каналов и их отклики на рис 9.3 для простоты не показаны. В решающем устройстве отклик согласованного фильтра 11 огибающая радиосигнала сравнивается с заданным пороговым уровнем U _пор. Если происходит пересечение порога, то формируется оценка, передаваемого символа, равная 1, а если пересечения не происходит, то формируется оценка,равная нулевому символу.Кодовые слова с выхода решающего устройства 12 поступают на ЦАП 13 и преобразуются в сообщение a ₁^*(t).

Демодуляция сигнала происходит в присутствии помехи, которая состоит из двух составляющих. Первая является известной по предыдущим 

главам суммой внутренней и внешней флуктуационных помех, а вторая – специфичной для систем с шумоподобными сигналами помехой. Эта помеха является суммой шумоподобных сигналовдругих каналов и называется структурной или взаимной помехой. Структурная помеха обусловлена тем, что системы используемых реальных сигналов являются «почти» ортогональными, т.е. для них не выполняется условие (9.6). Ее уровень определяется значениями взаимнокорреляционных функций между опорным канальным шумоподобным сигналом и присутствующими шумоподобными сигналами других каналов. С целью обеспечения заданного качества передаваемой информации, должны предусматриваться меры по уменьшению уровня этой структурной помехи. Рассмотренные принципы разделения сигналов по форме и построения многоканальной системы связи используется в многоканальных асинхронных адресных системах связи (ААСС). В ААСС (рис.9.4) каждому абоненту присваивается один из «почти ортоганальных» шумоподобных сигналов, который является адресом канала.

Рис.9.4. Структурная схема многоканальной

асинхронной адресной смстемы связи:

1,4,7,10 – абоненты 1, i, k, N;

2,5,8,11 – приемопередатчики;

3,6,9,12 – генераторы адресного сигнала;

Линия связи

Пусть, например, абоненту 1 нужно связаться с абонентом «k». С этой целью набирается номер абонента «k» и таким образом вгенераторе адресного сигнала 1 устанавливается форма шумоподобного сигнала с номером «k». Если число абонентов равно  , то и число набираемых форм также равно

Шумоподобный сигнал с номером «k» посылается в линию связи и таким образом действует на входах приемников всех остальных абонентов. На шумоподобный сигнал «k» настроена приемная аппаратура только абонента «k», поэтому связь устанавливается между абонентами 1 и «k». Приемники других абонентов на этот шумоподобный сигнал не откликаются. Ответная информация от абонента «k» передается с использованием шумоподобного сигнала с номером 1. Важной особенностью ААСС является отсутствие центральной коммутационной станции. Все абоненты имеют прямой доступ к друг другу, а если используется радиолиния, то частотная перестройка приемо-передатчиков для вхождения в связь не производится.

В заключение отметим, что в технической литературе имеется описание ААСС, в которых используется от 1000 до 1500 каналов с 50…100 активными абонентами.

Краткое описание CDMA ( http://www.ixbt.com/mobile/sys-cdma.html)

Примером внедрения технологии связи с шумоподобными сигналами является система с кодовым разделением каналов (CDMA – Code Division  Multiple Access).

          Замечательное свойство цифровой связи с шумоподобными сигналами- защищенность канала связи от перехвата, помех и подслушивания. Поэтому данная технология изначально разработана и использовалась для вооруженных сил США и лишь затем была передана для коммерческого использования.

                 Система CDMA фирмы Qualcom (стандарт IS-95) рассчитана на работу в диапазоне 800 МГц. Система CDMA построена по методу прямого расширения спектра частот на основе использования 64 видов последовательностей, сформированных по закону функций Уолша.

        Каждому логическому каналу назначается свой код Уолша. Всего в одном физическом канале может быть 64 логических канала, так как последовательностей Уолша, которым в соответтвие ставятся логические каналы 64, каждая из которых имеет длину по 64 бита. При этом 9 каналов – служебные, а остальные 55 каналов используются для передачи данных.

        При изменении знака бита информационного сообщения фаза используемой последовательности Уолша меняется на 180 градусов. Так как эти последовательности взаимно ортогональны, то взаимные помехи между каналами передачи одной базовой станции отсутствуют. Помехи по каналам передачи базовой станции создают лишь соседние базовые станции, которые работают в той же полосе частот и используют ту же самую ПСП, но с другим циклическим сдвигом.

        В стандарте CDMA  используется фазовая модуляция ФМ 4, ОФМ 4.

 

Взаимная информация

 

Определим теперь информацию, содержащуюся в одном ансамбле относительно другого, например, в принятом сигнале относительно переданного сообщения. Для этого рассмотрим сообщение двух дискретных ансамблей A и B, вообще говоря, зависимых. Его можно интерпретировать как пару ансамблей сообщений, либо как ансамбли сообщения и сигнала, с помощью которого сообщение передаётся, либо как ансамбли сигналов на входе и выходе канала связи и т. д. Пусть P (a_k, b_l)совместная вероятность реализаций a_k  и b_l. Cовместной энтропией ансамблей A и B будем называть:

                                                (10.6)

                                                                                      

Введём также понятие условной энтропии:

                                               (10.7)                 

где P (a_{k /} b_l)- условная вероятность a_k, если имеет место b_l.

Из теоремы умножения вероятностей   

следует, что .        (10.8) 

Для условной энтропии справедливо двойное неравенство:

                                                      (10.9)        

Рассмотрим два крайних случая:

1.Равенство  имеет место в том случае, когда, зная реализацию , можно точно установить реализацию . Другими словами, содержит полную информацию об .

2.Другой крайний случай, когда  имеет место, если события  и  независимые. В этом случае знание реализации  не уменьшает неопределённости , т.е. не содержит никакой информации об А.

В общем случае, что имеет место на практике, условная энтропия  меньше безусловной и знание реализации  снимает в среднем первоначальную неопределённость . Естественно, назвать разность  количеством информации, содержащейся в  относительно . Её называют также взаимной информацией между  и  и обозначают :

                                                        (10.10)

Подставляя в эту формулу значения H(A) и H(A/B) выразим взаимную информацию через распределение вероятностей:

     (10.11)

 Если воспользоваться теоремой умножения , то можно записать  в симметричной форме т.к. :

                                                             (10.12)

 Взаимная информация измеряется в тех же единицах, что и энтропия. Величина  показывает, сколько мы в среднем получаем бит информ