Раздел 5. Основные элементы цифровой обработки сигналов

5.1. Дискретное преобразование Фурье

 

Исследуем особенности спектрального представления дискретного сигнала, который задан на отрезке  своими отсчётами ,  взятыми соответственно в моменты времени ; полное число отсчётов  ( - интервал дискретизации).

Методика изучения таких дискретных сигналов состоит в том, что полученная выборка отсчётных значений мысленно повторяется бесконечное число раз. В результате сигнал становится периодическим.

Сопоставив такому сигналу некоторую математическую модель можно воспользоваться разложением в ряд Фурье и найти соответствующие амплитудные коэффициенты. Совокупность этих коэффициентов образует спектр дискретного периодического сигнала.

Воспользуемся моделью в виде последовательности дельта-импульсов. Тогда исходное колебание  будет выражено формулой:

                                                                    (5.1)

Где  – выборочные значения аналогового сигнала.

Представим этот сигнал комплексным рядом Фурье.

                                                                            (5.2)

С коэффициентами:

                                                                              (5.3)

Подставляя формулу (5.1) в (5.3) получим

- дискретное преобразование Фурье (ДПФ)           (5.4) 

Основные свойства ДПФ

1. ДПФ- линейное преобразование т.е. сумме сигналов отвечает сумма их ДПФ

2. Число различных коэффициентов , вычисляемых по формуле (6.4), равно числу N за период; при  коэффициент

 3. Коэффициент  (постоянная составляющая) является средним значением всех отсчётов:

4.  Если - чётное число, то

5. Пусть отсчётные значения  – вещественные числа. Тогда коэффициенты ДПФ, номера которых располагаются симметрично относительно /2, образуют сопряжённые пары:

Задача дискретного спектрального анализа может быть поставлена и по-иному. Допустим, что коэффициенты , образующие ДПФ, заданы. Положим в формуле (6.2) и учтём, что суммируется лишь конечное число членов ряда, которые отвечают гармоникам, содержащимся в спектре исходного сигнала.

Таким образом, получаем формулу для вычисления отсчётных значений

                                                                                         (5.5)

 

Очевидно, что (5.5) представляет собой формулу обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ)  .                                                      

Пример:

Дискретный сигнал на интервале своей периодически задан шестью равноотстоящими отсчётами

Найти коэффициенты ДПФ этого сигнала

k – номер отсчёта

n – номер гармоники

 

1)

 

2)

3)

4)

 

5.2. Быстрое преобразование Фурье

 

Как видно, из формул (5.4) и (5.5), чтобы вычислить ДПФ или ОДПФ последовательности из  элементов, требуется выполнить  операций с комплексными числами. Если длины обрабатываемых массивов имеют порядок тысячи или более, то использовать эти алгоритмы дискретного спектрального анализа в реальном масштабе времени затруднительно из-за ограниченного быстродействия вычислительных устройств.

Выходом из положения является алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), предложенный в 60-х годах XX века. Существенно сократить число операций удаётся за счёт того, что обработка входного массива сводится к нахождению ДПФ (или ОДПФ) массивов с меньшим числом членов.

Предположим, что число отсчётов , где  - целое число. Разобьём входную последовательность  на две части с чётными и нечётными номерами.

                               (5.6)

И представим -й коэффициент ДПФ в виде:

 

Из формулы видно, что первая половина коэффициентов ДПФ исходного сигнала с номерами от 0 до (N/2)-1 выражается через коэффициенты ДПФ двух частных последовательностей:

     =0, 1, 2,…,( /2)-1                            (5.7)

Учтём, что последовательности коэффициентов, относящихся к чётной и нечётной частям входного массива, являются периодическими с периодом N/2:

Кроме того, входящий в формулу (5.7) множитель при  можно преобразовать так:

Отсюда находим выражение для второй половины множества коэффициентов ДПФ

                                      (5.8)

Формулы (5.7) и (5.8) лежат в основе алгоритма БПФ. Далее вычисления строят по итерационному принципу: последовательности отсчётов с чётными и нечётными номерами вновь разбивают на две части. Процесс продолжают до тех пор, пока не получается последовательность, состоящая из единственного элемента.  ДПФ этого элемента совпадает с ним самим.

Число операций, необходимых для вычисления БПФ оценивается как .

Выигрыш в скорости вычислений по сравнению с традиционным ДПФ достигает сотен и даже тысяч при достаточных длинах входных массивов.

 

 

5.1 Z-преобразование

 

При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств Z-преобразование играет такую же роль, как интегральные преобразования Фурье по отношению к непрерывным сигналам.

Пусть – числовая последовательность, конечная или бесконечная, содержащая отсчётные значения некоторого сигнала. Поставим ей в однозначное соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной Z:

                                                      (5.9)

Эта сумма называется Z-преобразованием последовательности . Свойства дискретных последовательностей чисел можно изучать, исследуя их Z-преобразования обычными методами математического анализа.

На основании формулы (5.9) можно непосредственно найти Z-преобразования сигналов с конечным числом отсчётов. Так простейшему дискретному сигналу с единственным отсчётом  соответствует  Если же, например, , то

Рассмотрим случай, когда в ряде (5.9) число слагаемых бесконечно велико.

Возьмём дискретный сигнал  образованный одинаковыми единичными отсчётами и служащий моделью обычной функции включения. Бесконечный ряд   является суммой геометрической прогрессии и сходится при любых Z, |Z|>1. Суммируя прогрессию, получаем

 

Аналогично получается Z-преобразование бесконечного дискретного сигнала , где  - некоторое вещественное число. Здесь

Данное выражение имеет смысл при |Z|>

Пусть x(z) – функция комплексной переменной Z. Замечательное свойство Z-преобразование состоит в том, что функция x(z) определяет всю бесконечную совокупность отсчётов ().

Действительно, умножим обе части ряда (5.9) на множитель :

                                      (5.10)

а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, При этом воспользуемся фундаментальным положением из теоремы Коши:

Интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером m, поэтому:

                                                            (5.11)

Данное выражение носит название обратное Z-преобразование.

Важнейшие свойства Z -преобразования:

1. Линейность. Если  и  - некоторые дискретные сигналы, причём известны соответствующие Z-преобразования x(z) и y(z), то сигналу  будет отвечать преобразование  при любых постоянных  и . Доказательство проводится путём подстановки суммы в формулу (7.1).

2. Z-преобразование смещённого сигнала. Рассмотрим дискретный сигнал , получающийся из дискретного сигнала  путём сдвига на одну позицию в сторону запаздывания, т.е. когда . Непосредственно вычисляя Z-преобразование, получаем следующий результат:

                               (5.12)

Таким образом, символ  служит оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации) в Z-области.

3. Z-преобразование свёртки. Пусть x(z) и y(z) – непрерывные сигналы, для которых определена свёртка:

                                          (5.13)

Применительно к дискретным сигналам по аналогии с (7.5) принято вводить дискретную свёртку  – последовательность чисел общий член которой:

                                   (5.14)

Подобную дискретную свёртку называют линейной

Вычислим Z-преобразование дискретной свёртки:

                     (5.15)

Итак, свёртке двух дискретных сигналов отвечает произведение Z-преобразований.