Автокорреляционная функция сигналов

 

Задача корреляционного анализа возникла из радиолокации, когда нужно было сравнить одинаковые сигналы, смещённые во времени.

Для количественного определения степени отличия сигнала   и его смещённой во времени копии  принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала  равную скалярному произведению сигнала и его сдвинутой копии.

                                                       (4.1)

Свойства АКФ

1) При  автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала:

                                                                             (4.2)

2) АКФ – функция чётная

                                                                      (4.3)

3) Важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига  модуль АКФ не превосходит энергии сигнала:

4) Обычно, АКФ представляется симметричной линей с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала  автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающей, так и колеблющийся характер.

Например:

АКФ прямоугольного видеоимпульса

 

АКФ пачки из трёх прямоугольных видеоимпульсов, сдвинутых друг относительно друга на время .

 

 АКФ бесконечной периодической последовательности видеоимпульсов:

Существует тесная связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала.

В соответствии с формулой (4.1) АКФ есть скалярное произведение . Здесь символом обозначена смещённая во времени копия сигнала .

Обратившись к теореме Планшереля – можно записать равенство:

 

                                  (4.4)

 

                                                                           (4.4)

Спектральная плотность смещённого во времени сигнала , откуда . Таким образом, приходим к результату

                                                  (4.5)

Квадрат модуля спектральной плотности представляет собой энергетический спектр сигнала. Итак энергетический спектр и автокорреляционная функция связаны парой преобразований Фурье.

Ясно, что имеется и обратное соотношение

                                         (4.6)

Эти результаты принципиально важны по двум причинам: во-первых, оказывается возможным оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения их энергии по спектру. Во-вторых, формулы (4.5), (4.6) указывают путь экспериментального определения энергетического спектра. Часто удобнее вначале получить АКФ, а затем, используя преобразование Фурье, найти энергетический спектр сигнала. Такой приём получил распространение при исследовании свойств сигналов с помощью быстродействующих ЭВМ в реальном масштабе времени.

Часто вводят удобный числовой параметр – интервал корреляции , представляющий собой оценку ширины основного лепестка АКФ.

Например:

В данном случае:

Отсюда:                                         (4.7)

Интервал корреляции тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала. (Чем шире полоса частот сигнала, тем уже основной лепесток АКФ.)