Узкополосные случайные сигналы

Исследуем свойства узкополосных случайных сигналов, у которых спектральная плотность мощности имеет резко выраженный максимум вблизи некоторой частоты , отличной от нуля. Определим функцию корреляции узкополосного случайного процесса.

Рассмотрим стационарный случайный процесс  x(t), односторонний спектр мощности которого  концентрируется в окрестности некоторой частоты >0. По теореме Винера-Хинчина функция корреляции данного процесса

                                                       (7.4)

Мысленно сместим спектр процесса из окрестности частоты  в окрестность нулевой частоты, выполнив замену переменной . Тогда формула (7.4) приобретает вид:

                                         (7.5)

В соответствии с исходным предположением об узкополосности процесса X(t) его спектр мощности  исчезающе мал на частотах, близких к нулю. Поэтому в выражении (7.5) можно заменить нижний предел интегрирования на , не внося ощутимой погрешности, и записать функцию корреляции в виде

                                          (7.6)

Особенно простой функция корреляции узкополосного процесса получается в случае, когда спектр мощности  симметричен относительно центральной частоты . При этом , так что

                                                            (7.7)

Здесь коэффициент  играет роль огибающей, которая изменяется медленно по сравнению с множителем . Часто бывает удобным ввести нормированную огибающую  функции корреляции узкополосного случайного процесса, определив её с помощью равенства .

Тогда                                                 (7.8)

 

 

Характерный вид функции корреляции (7.8) свидетельствует о том, что отдельные реализации узкополосного случайного процесса представляют собой квазигармонические колебания:

 ,                                                  (7.9)

у которых как огибающая U(t), так и начальная фаза  являются случайными функциями, медленно (в масштабе ) изменяющимися во времени.

Представим реализацию (7.9) как сумму синфазной и квадратурной составляющих.

                                             (7.10)

Предположение о медленности синфазной A(t) и квадратурной B(t) амплитуд позволяет весьма просто записать выражение для реализации сопряжённого процесса, вынеся медленные множители за знак преобразования Гильберта:

                                             (7.11)

Отсюда получаем формулы для мгновенных значений реализации огибающей

                                         (7.12)

и начальной фазы

                                                             (7.13)

Часто на практике ставится задача нахождения совместной плотности вероятности огибающей и начальной фазы узкополосного случайного процесса. При этом особенно удобно воспользоваться методом, основанном на переходе от узкополосного случайного процесса к его синфазной и квадратурной составляющим. Благодаря этому методу мы можем вычислить двумерную плотность вероятности . Эта характеристика позволяет найти одномерную плотность вероятности огибающей:

                                                                 (7.14)

И плотность вероятности начальной фазы

                                                                (7.15)

Мгновенные значения амплитуды A(t) и B(t) образуют двумерный гауссов вектор, обе составляющие которого независимы и имеют одинаковые дисперсии . Поэтому двумерная плотность вероятности.

                              (7.16)

Теперь, чтобы получить искомую плотность вероятности  следует выполнить функциональное преобразование, переводящее случайный вектор {A,B} в новую случайную совокупность ,

                                                                           (7.17)

Якобиан такого преобразования

                                              (7.18)

Поскольку в новых переменных , искомая двумерная плотность вероятности:

                                                (7.19)

Теперь, используя формулы (7.15) и (7.19) можем найти плотность вероятности начальной фазы:

Введём замену переменной

Тогда:

                                              (7.20)

Таким образом, начальная фаза узкополосного случайного процесса распределена равномерно на отрезке  

На основании формул (7.14) и (7.19) определим одномерную плотность вероятности огибающей

                                                            (7.21)

Здесь так же целесообразно перейти к безразмерной переменной , относительно которой

 .                                                              (7.22)

Плотность вероятности мгновенных значений огибающей узкополосного случайного процесса, устанавливаемая выражением (7.21), (7.22) известна под названием закона Рэлея. Соответствующий график показывает, что наиболее вероятны некоторые средние (порядка ) значения огибающей. В то же время маловероятно, чтобы огибающая принимала значения как близкие к нулю, так и значительно превосходящие среднеквадратичный уровень  узкополосного процесса.

Проводя усреднение с помощью плотности вероятности (7.22) находим среднее значение огибающей и её дисперсию:

                                                 (7.23)

                                               (7.24)

Располагая одномерной плотностью вероятности огибающей, можно решить ряд задач теории узкополосных случайных процессов, в частности, найти вероятность превышения огибающей некоторого заданного уровня.

Случайные величины, распределенные по закону Рэлея, встречаются во многих задачах. Исследуем огибающую суммы гармонического сигнала и узкополосного нормального шума. Часто бывает необходимо определить статистические свойства сигнала, наблюдаемого на выходе некоторого частотно-избирательного устройства, например, резонансного усилителя.

Будем считать, что помимо флуктуационного гауссова шума с центральной частотой , равной резонансной частоте усилителя, на выходе присутствует также детерминированный гармонический сигнал  с известной амплитудой .

Простейшей задачей является нахождение одномерной плотности вероятности огибающей суммарного колебания. Считая, что полезный сигнал , в то время как шум , запишем выражение реализации суммарного процесса X(t) . Данный случайный процесс узкополосен, поэтому его реализация может быть выражена посредством медленно меняющихся огибающей U(t) и начальной фазы :

. Очевидно, между парами  имеется связь:

                                                          (7.25)

Легко проверить, что якобиан D этого преобразования равен U. Тогда, поскольку двумерная плотность вероятности:

В новых переменных имеем.

                      (7.26)

Теперь чтобы получить одномерную плотность вероятности огибающей, следует проинтегрировать правую часть формулы (7.26) по угловой координате в результате чего находим:

                             (7.27)

Данная формула выражает закон, получивший название закона Райса. Отметим, что при , т.е. в отсутствие детерминированного сигнала, закон Райса переходит в закон Рэлея.

На рисунке представлены графики плотности вероятности случайной величины, распределённой по закону Райса при различных отношениях

Отметим, что если амплитуда детерминированного сигнала значительно превышает среднеквадратический уровень шума, т.е. >>1 то при  можно воспользоваться асимптотическим представлением модифицированных функций Бесселя с большим аргументом:

 Подставив это выражение в (7.27), имеем

                                             (7.28)

Т.е. огибающая результирующего сигнала распределена в этом случае приближённо нормально с дисперсией  и математическим ожиданием . Практически считают, что уже при  огибающая результирующего сигнала нормализуется.