Расчет надежности с помощью формулы полной вероятности

Допустим, что предполагается провести опыт, об условиях которого можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез):

.

Каждая гипотеза осуществляется случайным образом и представляет собой некоторое событие. Вероятности гипотез известны и равны

.

Рассматривается событие X – безотказная работа системы в течение заданной наработки (0, t_i), которое может появиться только вместе с одной из гипотез. Заданы условные вероятности события X при каждой из гипотез:

.

Вероятность появления события X равна сумме произведений вероятности каждой гипотезы P (H_j) на условную вероятность события при этой гипотезе:

.

При использовании формулы полной вероятности для расчета надежности выбирается определенная группа элементов логической схемы и формируются гипотезы о том, что произошло с этой группой элементов в течение заданной наработки. Гипотезы могут являться сложными событиями. В каждой из гипотез учитывается, что для любого элемента рассматриваемой группы возможными исходами являются либо безотказная работа, либо отказ.

При вычислении условной вероятности безотказной работы системы P (X | H_j) при гипотезе H_j предполагается, что произошли соответствующие события (безотказная работа одного или нескольких элементов) и рассматриваются соответствующие условные логические схемы.

 

В качестве примера применения формулы полной вероятности рассмотрим расчет надежности системы, логическая схема для расчета надежности приведена на рисунке

 

Рисунок 5

 

Рассмотрим группу из первого и третьего элементов. Здесь возможны четыре гипотезы: оба элемента остались работоспособными; первый элемент отказал, второй остался работоспособным; первый элемент остался работоспособным, третий отказал; оба элемента отказали. В таблице знаком «1» обозначены работоспособные состояния, «0» - неработоспособные.

 

Таблица 5

Гипотеза	Состояния элементов		Вероятность гипотезы	Условная вероятность безотказной работы при гипотезе
	1	3
H1	1	1		1
H2	0	1
H3	1	0
H4	0	0

Подставим в формулу полной вероятности

Иногда удобно применять формулу полных вероятностей для сокращения объема математических расчетов.

 

§5 Расчет надежности системы с помощью графа состояний

При расчете показателей надежности невосстанавливаемой системы удобно перейти от логической (структурной схемы) системы к графу состояний системы. Для перехода необходимо выделить типовые структуры графа, соответствующие типовым соединениям на логической схеме.

Таблица 6

Тип соединения на структурной схеме	Графы состояний
	При элементах различной надежности	При равнонадежных элементах
	λ3 λ2 λ1 101 011 111 110	3λ
	λ1 λ2 λ2 λ1 00 10 11 01	λ 2λ
	λ2 λ3 λ3 λ3 λ1 λ1 λ3 λ1 λ1 010 000 001 101 100 011 110   111	λ 2λ 3λ
111	λ3 λ2 λ1 000 001 011	λ λ λ

Последовательному логическому соединению соответствует простой ветвящийся граф состояний; параллельному ненагруженному соединению простой неветвящийся (последовательная цепочка состояний). Параллельному нагруженному соединению соответствует сложный граф треугольной структуры. В таблице номера состояний обозначены кодом в котором число знаков равно числу элементов, место знака соответствует номеру элемента, «1» обозначает работоспособное состояние, «0» обозначает неработоспособное состояние элемента. Также приняты обозначения λ₁, λ₂,λ₃ – интенсивности отказа первого второго и третьего элементов (подсистем). Для равнонадежных элементов λ₁=λ₂=λ₃=λ. При равнонадежных элементах соответствующие графы состояний становятся проще. Особенно значительно упрощается граф состояний, соответствующий параллельному нагруженному соединению на логической схеме.

 

Рассмотрим применение метода графов на примере нагруженного резерва: дублирование. Будем предполагать, что все элементы равнонадежны и интенсивность каждого элемента равна λ.

Обозначим возможные состояния дублированной группы в течение времени t:

0 - исправны оба элемента;

1 – один из элементов исправен;

2 – оба элемента несправны (отказ группы).

Случайный процесс перехода из состояния в состояние является марковским, поскольку вероятность попадания через промежуток времени Δ t в любое состояние зависит только от того, в каком состоянии группа находится в рассматриваемый момент времени t, и не зависит от состояния в предшествующие моменты времени. Граф состояний, соответствующий случайному процессу, имеет вид:

Над стрелками указаны вероятности перехода и состояние в состояние за малый промежуток времени (t, t +Δ t). Если группа в момент времени находилась в состоянии 0, то вероятность P ₀₁ (t) ее перехода в состояние 1 за малый промежуток времени Δ t соответствует вероятности отказа одного из элементов за этот промежуток времени

,

а вероятность остаться в течение промежутка времени Δ t в состоянии 0 соответствует вероятности безотказной работы двух элементов за этот промежуток времени

.

Если группа находилась в момент времени t в состоянии 1, то вероятность перехода группы за время Δt из состояния 1 в состояние 2 за этот промежуток времени

,

а вероятность остаться в течение промежутка времени Δt в состоянии 1 соответствует вероятности безотказной работы одного элемента

Если группа находилась в состоянии 2, то вероятность того, что группа в течение промежутка времени останется в этом же состоянии равна 1, поскольку это поглощающее состояние, т.е. такое состояние, попав в которое группа в нем и останется с вероятностью Искомые вероятности пребывания в состояния 0,1 и 2 в момент времени t обозначим P ₀ (t), P ₁ (t) и P ₂ (t), при этом очевидно равенство

.

Вероятность безотказной работы дублированной группы в течение времени t равна

,

а вероятность отказа группы в течение времени t

.

Определим вероятности P_i (t + Δt) пребывания в i-ом состоянии в момент времени t +Δ t в зависимости от этих вероятностей P_i (t) в момент времени t и вероятностей перехода из состояния в состояние за время Δ t (i=0,1,2). Дублированная группа может находится в момент времени t +Δ t в состоянии 0, если она в момент времени t находилась в этом же состоянии и в течении промежутка Δt из него не вышла., т.е. в течение Δ t ни один из двух элементов не отказал. Таким образом, на основании теорем умножения и сложения вероятностей можно записать

.

Здесь о (Δ t) – поправка более высокого порядка малости, чем Δ t, учитывающая приближенное определение переходных вероятностей.

Аналогично можно записать зависимости для вероятностей P ₁ (t + Δt), P ₂ (t + Δt)

,

.

Перейдем к системе дифференциальных уравнений устремив Δt→0.

Полученную систему уравнений решают для начальных условий

.

Решение можно осуществить, использовав преобразование Лапласа, позволяющее преобразовать систему дифференциальных уравнений в систему алгебраических уравнений.

Переходя обратно к пtременной t, получаем выражение

Таким образом, выражения для вероятности отказа дублированной группы в течение времени t

,

А вероятность безотказной работы:

Существует правило, позволяющее записывать уравнения непосредственно по графу состояний:

В левой части уравнения записать производную вероятности k-ого состояния и в правой столько членов, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка направлена в данное состояние, то ставится знак плюс, если из данного состояния - знак минус. Каждый член равен плотности вероятности потока событий λ, переводящего систему по данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка.

Пример структурной схемы надежности (а) и соответствующего ей графа состояний (б).

В структурной схеме надежности на рисунке 5 применяется комбинированное резервирование. Элемент с интенсивностью отказа λ2 имеет резервный элемент с интенсивностью отказа λ3. А группа элементов 1,2,3 имеют ненагруженный резерв элементами 4 и 5. Интенсивности отказов соответствующих элементов указаны над элементами.

 

 

Построим граф состояний.

- В случае если отказывает элемент 1, то подключаются элементы 4 и 5 из ненагруженного резерва, после отказа любого из элементов 4 или 5 наступает отказ системы.

- В случае отказа элемента 2, подключается резервный элемент 3, после отказа которого подключаются резервные элементы 4 и 5, после отказа любого из элементов 4 или 5 наступает отказ системы. Если же после отказа элемента 2 отказывает элемент 1, то сразу подключаются элементы 4 и 5, после отказа любого из элементов 4 или 5 наступает отказ системы.

- В случае отказа элемента 3, система продолжает работать пока не откажет один из элементов 1 или 2, что приведет к подключению ненагруженного резерва, после отказа любого из элементов 4 или 5 наступает отказ системы.