Надежность системы с независимыми элементами, работающей до первого отказа

Рассмотрим вначале работу системы до ее первого отказа. В этом случае надежность системы определяется функцией P (t), которая равна вероятности безотказной работы системы в течение времени t. Пусть система состоит из n элементов, функцию распределения безотказной работы, которых мы обозначим через p ₁ (t), p ₂ (t), … p_n (t).

При последовательном соединении элементов вероятности перемножаются.

       .                                                                                      (32)

Выразим функции p ₁ (t), p ₂ (t), … p_n (t) через интенсивности отказа

       ,                                                                                (33)

откуда

,

т.е. при последовательном соединении интенсивности отказа складываются. В частности для экспоненциального закона λ_k(t)=λ_k= Const,

       ,                                                                         (34)

Таким образом, надежности системы также будет подчиняться экспоненциальному закону.

Обозначая через T _ср среднюю наработку до отказа системы, а через T_k –средняя наработка до отказа k -ого элемента, k =1… n, то

       .                                                                                               (35)

В сложной системе всегда имеются группы одинаковых элементов. Если эти одинаковые элементы находятся примерно в равных условиях или различие условий не влияет существенно на их надежность, то вероятности безотказной работы этих элементов равны. Пусть, например, в первой группе находится n₁ элементов с вероятностью безотказной работы p₁(t), во второй группе – n₂ элементов с вероятностью безотказной работы p ₂ (t) и т.д., всего таких групп s. Тогда вероятности безотказной работы системы запишется:

       ,                                                                       (36)

       ,                                                                                 (37)

для случая экспоненциальных законов

       , ,                                                                              (38)

       .                                                                                              (39)

В частности, когда все элементы системы имеют одинаковую вероятность безотказной работы p_k (t)= p (t), то

       ,                                                                                (40)

А для экспоненциального закона , .

§2 Расчет систем с неодновременно работающими элементами

В некоторых системах в различные промежутки времени работает лишь часть элементов. В ряде случаев это необходимо учитывать при расчете надежности. Особенно часто такие задачи встречаются при расчете надежности работающей циклами, когда отдельные блоки этой аппаратуры последовательно выполняют те или иные операции.

Для того чтобы система с неодновременно работающими элементами безотказно выполняла свои функции, необходимо, чтобы все ее элементы безотказно работали соответствующее заданное время (наработку). Допустим, что первичные отказы независимы, вероятность безотказной работы системы, состоящей из n элементов в течение заданного времени (t ₀, t ₀ +Δ t ’) будет

       ,                                                                                (41)

где вероятность  - вероятность безотказной работы j -ого элемента в течение времени включения этого элемента , найденная в предположении, что момент времени включения t _0j этот элемент работоспособен. Таким образом, время Δ t ’ отсчитывается с момента времени t ₀ включения системы; время Δ t ’ _j с момента времени t _{0 j} включения j-ого элемента; t ₀, t _{0 j}, t_j отсчитываются с начала эксплуатации системы.

Если вероятность безотказной работы через интенсивности отказа

       .                                                                      (42)

Для частного случая экспоненциального распределения

       .                                                                             (43)

При вычислении надежности системы с неодновременно работающими элементами полезно сначала построить график времени работы системы.

 

Рисунок 2.

Пусть система состоит из четырех элементов и имеет график работы элементов представленный на рисунке. При этом , , . Вероятность безотказной работы данной системы в течение цикла (t₀,t₀+Δt’) будет выражаться уравнением

       .                (44)

Графики времени работы составляются в тех случаях, когда имеется полная уверенность в том, что в момент включения элемент работоспособен.