Средняя наработка до отказа резервированной группы с постоянно включенным резервом

Средняя наработка до отказа резервной группы определяется

.                                                                                                                 (67)

Если вероятности безотказной работы заданы аналитически, то среднюю наработку до отказа можно вычислить в конечном виде.

1) Экспоненциальный закон.

.                         (68)

Для случая равнонадежных элементов , получим

.                                                                                                   (69)

Сделаем замену переменной .

Тогда

.                     (70)

Так как средняя наработка до отказа одного элемента , то

.                                                                                             (71)

2) Закон Вейбулла. Ограничимся здесь и в следующих пунктах случаем равных вероятностей безотказной работы ,

                       (72)

 или

.                                                                                                       (73)

Если функция p (t) – закон распределения вероятности безотказной работы – задана графически или в виде ряда точек, то среднее время можно определить по формуле (67) в начале параграфа численным интегрированием.

Пусть проведено N испытаний одинаковых элементов, доведя их до отказа последнего элемента, и в результате испытаний получили величины

Расположим случайные наработки до отказа элементов в порядке возрастания . Эмпирическая функция , где k - число отказов, прошедших до момента t. Подставив эту функцию в (69) получим

       .                                               (75)

Таким образом, среднюю наработку до отказа резервной группы можно определить по результатам испытаний непосредственно. Несмотря на это среднюю наработку до отказа не всегда легко вычислить по точным формулам, либо с достаточной точностью по результатам испытаний. Дело в том, что величина средней наработки до отказа определяется в основном поведением функции p (t) при больших значениях времени, значительно превосходящих среднее время работы элемента. Чем быстрее убывает функция p (t) при t →∞, тем меньше величина T_n и, наоборот, причем теоретически T_n может меняться в довольно широких пределах, а именно,

       .                                                                                                       (76)

В то же время функция p(t) чаще всего известна нам на ограниченном интервале времени, который меньше, или по крайней мере соизмерим со средней наработкой до отказа одного элемента, обычно это десятки и сотни тысяч часов, и физически невозможно проводить такие испытания элементов.

При рассмотрении горячего резерва, предполагалось, что работает всегда один элемент, а остальные находятся в резерве. Однако, в некоторых случаях характер системы таков, что все n элементов одновременно выполняют некоторую функцию, причем для удовлетворительного результата этой функции необходимо, чтобы по меньшей мере m элементов из n было исправно. Такое резервирование называют мажоритарным (с использованием голосования). Этот способ основан на применении дополнительного элемента – его называют мажоритарный или логический или кворум-элемент. Он позволяет вести сравнение сигналов, поступающих от элементов выполняющих одну и ту же функцию. Если результаты совпадают, тогда они передаются на выход устройства. Главное достоинство этого способа – обеспечение повышения надежности при любых видах отказов работающих элементов и повышение достоверности информационно-логических устройств.

При таком резервировании отказ резервной группы наступает в тот момент когда происходит (n + m +1) -й отказ.

Если предположить, что отказы элементов независимы, то надежность резервной группы может быть легко вычислена. В общем случае, когда надежности элементов различны, рассмотрим многочлен

       .                   (92)

Очевидно, что коэффициент P_nk есть вероятность того, что к данному моменту из n элементов останется в работающими ровно k.

Отсюда

       .                                                                                                         (93)

Если все элементы равнонадежны, то .     (94)