П.2 Законы распределения для непрерывных случайных величин.

1. Экспоненциальный закон распределения случайной величины X.

Многочисленные данные полученные на основе опыта разработки радиоэлектронной техники показывают, что функция,  - интенсивность отказов, имеет характерный вид кривой на рисунке 1.

 

 

 

 

Рис 1

Из этого графика видно, что весь интервал можно разбить на три участка. На первом функция λ(t) имеет повышенные значения. Это связано с тем, что в большой партии всегда имеются элементы со скрытыми дефектами, которые выходят из строя вскоре после начала работы. Поэтому этот период называют периодом приработки. Второй период называют периодом нормальной работы. Он характеризуется постоянным (или приближенно постоянным) значением функции λ(t). Последний период – период старения. Необратимые физико-химические явления приводят к ухудшению качества элемента, элемент «стареет». Естественно, это не является универсальным предположением. Есть элементы, у которых отсутствует период приработки (например хорошо поставленный контроль отсеивает дефектные элементы), есть элементы, которые практически не стареют. Однако у большинства элементов имеется как правило, длительный период, на котором опасность отказа λ(t) практически постоянна. Периодом приработки можно пренебречь, считая, что работа элемента начинается с окончания этого периода.

Вышеприведенные соображения показывают, что для широкого класса элементов мы можем принять что λ(t)=λ= Const.

Исходя из формулы интенсивности отказа можно записать для P (t)

       .                                                                                                    (13)

А для важного частного случая экспоненциального закона выше,  получим .

Этот закон в общем случае записывается так:

       ,

где P(x) – вероятность того, что случайная величина X имеет значение большее x.

Когда за случайную величину принимается время работы объекта t, вероятность того, что изделие на протяжении времени t будет работать безотказно равна

       ,                                                                                                           (14)

где λ – интенсивность отказов изделия для экспоненциального распределения, имеет постоянное значение на любом интервале работы объекта.

Вероятность отказа за время t

       .                                                                                        (15)

Плотность вероятности отказов

       .                                                                                               (16)

Средняя наработка изделия до первого отказа

       .                                    (17)

Дисперсия времени работы до возникновения отказа

       .                                                                             (18)

Среднеквадратичное отклонение .

Примечание. Математическое ожидание непрерывной случайной величины x определяется . Дисперсия непрерывной случайной величины x:

 

Экспоненциальный закон обладает важным свойством: для экспоненциального закона вероятность безотказной работы на данном интервале  не зависит от времени предшествующей работы t, а зависит только от длины интервала Δ t. Т.е., если известно, что в данный момент элемент исправен, то будущее его поведение не зависит от прошлого.

Экспоненциальное распределение используют для расчета надежности радиоэлектронной аппаратуры подверженной вибрациям.

Статистические материалы об отказах типовых элементов радиоэлектронных изделий (ЭРИ) свидетельствуют о том, что в основном время работы этих элементов подчиняются экспоненциальному закону. А интенсивность отказов λ₀ приводится в технических условиях.

Уровень безотказности ЭРИ зависит от их электрической нагрузки определяемых соотношением

       ,                                                                                                         (19)

где F­_раб – электрическая нагрузка элемента в рабочем режиме, т.е. физическая нагрузка на рассматриваемом схемном элементе, F_ном – номинальная или предельная по ТУ электрическая нагрузка выполняющего в конструкции функцию схемного элемента.

В качестве F выбирают такую электрическую характеристику, которая в наибольшей степени влияет на его безотказность. Например, для резисторов - это рассеиваемая мощность, для конденсаторов – прикладываемое напряжение, для микросхем – коммутируемый ток и т.д. (см. ГОСТ РВ 20.39.304-98).

Таблица 2. Расчетные формулы коэффициентов нагрузки и предельно допустимые коэффициенты нагрузки изделий

Наименование группы изделий	Контролируемый параметр, обозначение	Формулы для вычисления коэффициента нагрузки	Предельно допустимый коэффициент нагрузки
			Группа аппаратуры по ГОСТ РВ 20.39.304-98
			1.1-1.4	3.1-3.4	4.1-4.8	5.1-5.3
1	2	3	4	5	6	7
Электрические соединители, провода, кабели	Рабочий ток в отдельной цепи,   Суммарный ток,		0,8	0,7	0,7	0,5
Диоды, диодные сборки, варикапы	Постоянный, или средний выпрямленный ток,		0,8	0,7	0,7	0,6
Полупроводниковые стабилитроны и стабисторы	Постоянный ток стабилизации,		0,8	0,7	0,7	0,6
Полупроводниковые излучающие диоды	Прямой постоянный ток,		0,9	0,8	0,8	0,7
Биполярные транзисторы, транзисторные сборки, полевые транзисторы, тиристоры	Рассеиваемая мощность,		0,8	0,7	0,7	0,6
Конденсаторы и конденсаторные сборки	Максимальное (суммарное) напряжение,	Для керамических	0,8	0,7	0,7	0,6
		Для оксидно-электролит., оксидно-полупров.	0,9	0,8	0,8	0,7
Оптопары и оптоэлектронные переключатели	Средний (постоянный) ток,		0,9	0,8	0,8	0,7
Резисторы и резисторные сборки	Рассеиваемая мощность,		0,8	0,7	0,7	0,6
Микросхемы	Выходной ток,   Коммутируемый ток,  (для аналоговых ключей)		0,9	0,8	0,8	0,7
			0,9	0,8	0,7	0,6
Кварцевые резонаторы и генераторы	Рассеиваемая мощность,		0,9	0,8	0,8	0,7
Электромагнитные реле и контакторы	Коммутируемый ток,		0,9	0,8	0,7	0,6
Линейные интегральные стабилизаторы напряжения	Ток нагрузки,   Рассеиваемая мощность,		0,8	0,7	0,7	0,6
			0,9	0,8	0,7	0,6
Силовые трансформаторы	Ток обмотки,		0,8	0,7	0,7	0,6
Импульсные трансформаторы	Импульсный ток,		0,9	0,8	0,7	0,6
Дроссели фильтров	Ток подмагничивания,		0,9	0,8	0,7	0,6
Микровыключатели и микропереключатели, кнопки	Пропускаемый ток,		0,8	0,7	0,7	0,6
Предохранители и держатели	Наибольший ток перегрузки,		0,9	0,8	0,7	0,6

 

Недопустимо использовать элементы с коэффициентом нагрузки К_Н >1 даже по одному из параметров электрического режима.

Во время эксплуатации элемента условия работы могут оказаться более жесткими, чем нормальные. Возникает задача определения интенсивности отказов, соответствующей эксплуатационным факторам. Эту интенсивность отказов называют эксплуатационной λ_э.

В настоящее время в отечественной и мировой инженерной практике для определения λ_э широко используют математическую модель вида:

       ,                                                                                                     (20)

где m – количество факторов, принятых во внимание из числа влияющих на безотказность элементов, К_i – поправочный коэффициент, учитывающий влияние i -ого фактора.

В качестве факторов рассматривается коэффициент нагрузки К_н, температура, степень жёсткости условий эксплуатации, характер электрического режима.

Таким образом, можно вычислить интенсивность отказа элемента системы с учетом условий эксплуатации.

 

2. ɣ -распределение случайной величины X.

Если отказ устройства возникает тогда, когда произойдет не менее k отказов его элементов, а отказы элементов подчинены экспоненциальному закону с параметром λ₀, плотность вероятности отказа системы

                                                                                                      (21)

где λ₀ – исходная интенсивность отказов элементов устройства, отказ которого вызывается отказом k элементов.

Этому распределению подчиняется время работы резервированных устройств.

Вероятность k и более отказов, т.е. вероятность отказа данного объекта

       .                                                                              (22)

Среднее время работы устройства до отказа

       .                                                                                                (23)

Здесь T₀ средняя наработка элементов системы отказы, которых подчинены экспоненциальному закону.

Интенсивность отказов объекта

                                                                                            (24)

при k =1 ɣ -распределение совпадает с экспоненциальным распределением.

3. Распределение Вейбулла случайной величины X.

Используется для описания прочности сплавов и некоторых свойств металлов.

Функция распределения или вероятность отсутствия отказа для закона Вейбулла имеет вид

.

Средняя наработка до отказа

       .                                                                                 (25)

Дисперсия времени работы до отказа

       ,                                                                             (26)

здесь Γ (z) – Гамма-функция.

Интенсивность отказов

       .                                                                                                     (27)

При α<1 интенсивность отказов монотонно возрастает от нуля, при α>1 опасность отказа монотонно убывает и не ограничена при t=0. Экспоненциальный закон является частным случаем закона Вейбулла при α=1.

Основной причиной широкого использования закона Вейбулла в теории надежности является то, что он, обобщая экспоненциальный закон, содержит дополнительный параметр α. Подбирая нужным образом параметры λ и α, можно получить лучшее соответствие опытным данным по сравнению с экспоненциальным законом, который зависит только от одного параметра λ. У элемента, у которого часто встречаются «скрытые» дефекты, но который в течение долгого времени не «стареет», опасность отказа резко повышена вначале, а потом быстро падает. Функция распределения такого элемента хорошо приближается законом Вейбулла при α<1. Наоборот, если у элемента почти не бывает скрытых дефектов, но зато он быстро стареет, то опасность отказов монотонно возрастает, и распределение хорошо приближается законом Вейбулла с параметром α>1.

ɣ -распределение и распределений Вейбулла применяется чаще всего для описания поведения изнашивающихся или стареющих систем.

Нормальное распределение

Для однородных материалов временное сопротивление, предел текучести и предел выносливости имеют нормальное распределение. Такое распределение используется для расчетов прочности конструкций.

Нормальное распределение случайной величины X возникает всякий раз, когда X зависит от большого числа однородных по своему влиянию случайных факторов, причем влияние каждого из этих факторов по сравнению с совокупностью всех остальных незначительно. Это условие характерно для времени возникновения отказа, вызванного износами, старением. Плотность вероятности отказа этого распределения

       .                                                                                   (28)

Вероятность отказа за время t

       .                                                             (29)

Значение функции распределения F (t) определяется формулой

       .                                                              (30)

Вероятность отсутствия отказа за время t

       .                                                                                (31)

Монотонное возрастание интенсивности отказов с течением времени – характерный признак нормального распределения. Нормальное распределение существенно отличается от экспоненциального. Началом отсчета времени t в экспоненциальном распределении является момент начала эксплуатации изделия, т.е. момент времени, когда начинается процесс износа и старения, а началом отсчета времени t в нормальном распределение – момент времени, когда установлено, что изделие исправно (этот момент времени может быть любой точке на оси времени).