Расчет надежности с применением алгебры высказываний

В основе расчетов надежности лежит исследование событий и высказываний. Произвести расчет надежности сложного изделия означает определить связь между сложным событием (отказы изделия) и событиями, от которых оно зависит (отказы элементов изделия). Таким образом, в основе расчетов надежности лежат операции с событиями и высказываниями – математическая логика, а именно алгебра высказываний.

Объектом исследований алгебры высказываний являются высказывания, о которых можно утверждать, что они либо истинны, либо ложны. Например, «вычислительный комплекс находится в работоспособном состоянии». Высказывания могут быть простыми и сложными. Сложное высказывание – высказывание, состоящее из простых высказываний, соединенных между собой логическими операциями.

Каждая из логических операций устанавливает вполне определенную связь между истинностью сложного высказывания и истинностью простых высказываний.

Таблица 4

	Название операции	x y	0 0	0 1	1 0	1 1	Обозначение операций
1	Конъюнкция		0	0	0	1	x˄y (x∙y)
2	Дизъюнкция		0	1	1	1	x˅y
3	Суммирование по модулю 2		0	1	1	0
4	Эквивалентность		1	0	0	1
5	Отрицание		1	0	1	0
6	Импликация от y к x		1	0	1	1
7	Отрицание конъюнкции (штрих Шеффера)		1	1	1	0
8	Отрицание дизъюнкции (стрелка Пирса)		1	0	0	0

Истинность высказываний обозначена единицей, ложность – нулем.

Рассмотрим систему состоящую из трех последовательно соединенных элементов a, b и c. Условие работоспособности устройства можно сформулировать следующим образом: система работоспособна, если работоспособен элемент a, и элемент b и элемент c. Этому условию соответствует логическая функция

.

Её арифметическое представление совпадает с логическим .

Вероятность безотказной работы системы .

Для устройства, состоящего из n элементов, эта вероятность равна

.

Для системы состоящей из трех параллельно соединенных элементов условие работоспособности системы можно сформулировать так: система работоспособна, если элемент a работоспособен или элемент b работоспособен или элемент c работоспособен, или элементы a и b работоспособны или элементы b и c работоспособны или элементы a и c работоспособны или элементы a, b, c работоспособны.

Логическая функция запишется

.

Преобразуем это выражение

.

Арифметизируем .

Заменим события их вероятностями:

.

Вероятность безотказной работы системы, состоящего из n параллельно соединенных элементов

.