Теоретико-вероятностная схема

Рассмотрим теоретико-вероятностную схему (схема гибели и размножения), которая может быть использована для различных типов резервирования.

Пусть дана система, состоящая из некоторого числа элементов, и в этой системе происходят отказы элементов. Возникающий поток отказов подчиняется следующим условиям:

1) Если к моменту времени t произошел k -1 отказ, то независимо от моментов возникновения этих отказов вероятность того, что на бесконечно малом участке (t, t +Δ t) произойдет один отказ, равна

       ,                                                                                                        (95)

где o(Δt) – бесконечно малая функция.

2) В момент, когда происходит n -й отказ, работа системы прекращается и никаких изменений в системе в дальнейшем не происходит. Поэтому .

Эти два условия полностью определяют конечный поток отказов, и если они выполняются, то несущественно, какие элементы составляют систему, как они соединены в системе, какие их элементов отказывают и как влияют одни отказы на другие.

Заметим еще, что второе условие не очень существенно и связано со спецификой задач в теории резервирования – ведь резерв всегда конечен и, следовательно, до отказа резервной группы может произойти лишь конечное число отказов.

Если к моменту t произошел k -1 отказ, то мы говорим, что наша система находится в состоянии k. Обозначим через π _k (t) вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии k. Тогда  вероятность того, что система откажет к моменту t, т.е. вероятность отказа. Сравнив состояния системы в два бесконечно близких момента t и t +Δ t, по формуле полных вероятностей получим

       .                                              (96)

Отсюда при  получим систему дифференциальных уравнений

                                                            (97)

Величины π _k (t) удовлетворяют начальным условия при .

Чтобы получить решение этой системы в замкнутом виде, удобно использовать преобразование Лапласа.

Введем обозначение

       .                                                                                           (98)

Величины a_k (t) удовлетворяют соответствующей системе алгебраических уравнений:

                                                                 (99)

Разрешив эту систему, получим

       , , ,                               (100)

Откуда

       .                                                                             (101)

Применив формулу обращения преобразования Лапласа, мы находим искомую вероятность

       , .                                         (102)

Вертикальный контур интегрирования мы можем заменить замкнутым контуром, обходящим в положительном направлении нули знаменателя. Тогда по основной теореме о вычетах

       ,                                                                     (103)

где .

Эта формула верна только для случая, когда все числа λ _k ­ различны. В противном случае формула несколько усложняется. Отметим частный случай λ _k =λ. Тогда

       .                                                                               (104)

Продифференцировав обе части по t получим

       .                                                        (105)

Полученная формула для вероятности отказа громоздка и непоказательна, приведём простые приближенные формулы для π _{n +1} (t), которая бы была верна для определенного диапазона изменения времени и параметров λ_k.

1) ,                                                                                           (106)

относительная ошибка этой формулы не превосходит .

Эта формула применима в задачах резервирования в тех случаях, когда вероятности безотказной работы элементов, составляющих резервную группу, сравнительно близки к единице. В этом случае кратность резервирования бессмысленно делать большой.

2) Если , то для больших n имеет место ,                                                                                  (107)

причем  - главный член ошибки.

Эта формула описывает ситуацию большого количества резервных элементов с высокой вероятностью отказа (ненадежных элементов).

3) Теперь рассмотрим другой подход к схеме гибели, который даст нам возможность изучить поведение функции π _{n +1} (t) для больших значений времени. Обозначим через τ _k случайное время между (k -1) -м и k -м отказом.

Тогда  случайное время жизни нашей системы. По определению вероятность

является законом определения случайной величины T_n. Из условий, сформулированных в начале параграфа, следует, что величины τ_k взаимно независимы и каждая из них распределена по экспоненциальному закону

.

Отсюда средняя наработка до отказа системы равна

       ,                                                                                                      (108)

а дисперсия

       .                                                                                                       (109)

Распределение величины T_n как суммы независимых случайных величин с ростом номера n при определенных общих условиях должно стремиться к нормальному.

Воспользуемся условиями Ляпунова: если

       , то                                                                               (110)

       .                                                      (111)

Отсюда получаем третью приближенную формулу.

Если выполняется условия Ляпунова, то при больших n для всех t для которых отношение

 ограничено, имеет место приближенное равенство

       .                                                                                   (112)

Применим полученное на примере нагруженного резерва. Пусть вероятности безотказной работы элементов одинаковы и подчиняются экспоненциальному закону

.

На участке времени до первого отказа работают все n элементов. Рассмотрим на этом участке бесконечно малый отрезок времени (t, t + h). Вероятность того, что на этом участке данный элемент не откажет, равна , а вероятностью того, что не откажет ни один из n элементов, равна

       .                                                                                         (113)

Так как вероятность появления двух или более отказов на этом участке имеет порядок h ², то вероятность появления ровно одного отказа равна

       .                                                                                                          (114)

Таким образом,

       .                                                                                                              (115)

На участке между первым и вторым отказами работает (n -1)- й элемент, поэтому

       .                                                                                                       (116)

И далее , .

Так как отказы элементов независимы и подчиняются экспоненциальному закону, появление отказа элемента на данном участке не зависит от того, сколько времени проработает данный элемент и когда произошли отказы других элементов. Следовательно, наш поток отказов есть процесс типа гибели.

Применяя формулу (103) получаем вероятность отказа резервной группы

(117)

Если вероятности безотказной работы элементов для данного времени близки к единице, а n невелико, то согласно первой приближенной формуле

       .                                                                          (118)

Вторая и третья приближенные формулы в этом случае несправедливы. Среднее время наработки до отказа резервной группы равно

       .                                            (119)

§7 Резервирование замещением (ненагруженный или холодный резерв)

В случае ненагруженного резерва будем предполагать, что резервный элемент не может отказать, находясь в нерабочем состоянии, и что пребывание резервного элемента в нерабочем состоянии не изменяет его надежности в рабочем состоянии. Кроме того, как и выше, будем считать, что время в течение которого отказавший элемент заменяется резервным, практически равно нулю и переключающее устройство абсолютно надежно (если оно есть).

Основной элемент проработав некоторое случайное время τ₁, выходит из строя и на его место становится первый резервный элемент, который работает случайное время τ₂, и т.д. Последний резервный элемент, проработав случайное время τ _n, выйдет из строя, а с ним выйдет из строя и вся резервная группа.

Таким образом, случайное время жизни резервной группы T_n равно

                                                                                                   (120)

Величины τ _k независимы и

       .                                                                                                 (121)

Обозначим через Q_n (t) вероятность отказа резервной группы. Функция Q_n (t) как закон распределения суммы n независимых слагаемых определяется

       ,                                                                                 (122)

                                                                                                                (123)

Последовательно применяя эту формулу для n =2,3,4… мы можем вычислить точно или приближенно величину Q_n (t).

Средняя наработка до отказа резервной группы

       .                                                                          (124)

В частности, если все элементы имеют одинаковую надежность, то

       .                                                                                                           (125)