Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Краткие теоретические сведения.Если функция f (x) дифференцируема на интервале (a, b) и f ′( x )> 0 при всех x ∈(a, b), то функция f (x) возрастает на (a, b); если же f ′(x)<0 при всех x ∈(a, b) то f (x) убывает на этом интервале. В простейших случаях область определения функции y = f (x) можно разбить на конечное число интервалов монотонности. Каждый из интервалов монотонности ограничен критическими точками в которых f′(x)=0 или f′(x) не существует. Если существует такая окрестность U 0(x 0) точки x 0, что для всякой точки x ≠ x 0 этой окрестности выполняется неравенство f (x)> f (x 0) (или f (x)< f (x 0)) то точка x 0 называется точкой минимума (максимума) функции y = f (x), а число f (x 0) - минимумом (максимумом) этой функции. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума. Необходимое условие экстремума. Если x 0− точка экстремума функции f (x), то f ′(x 0)=0 или f ′(x 0) не существует т.е. x 0 критическая точка этой функции. Достаточные условия экстремума непрерывной функции. 1) Пусть функция f (x) дифференцируема в некоторой окрестности (x 0− δ, x 0+ δ) критической точки x 0, за исключением, быть может, самой этой точки. Если при этом в интервалах (x 0− δ, x 0) и (x 0, x 0+ δ) производная f ′(x) имеет противоположные знаки, то x 0− точка экстремума, причем, если f ′(x)>0 при x ∈(x 0− δ, x 0) и f ′(x)<0 при x ∈(x 0, x 0+ δ), то x 0− точка максимума, а если f ′(x)<0 при x ∈(x 0− δ, x 0) и f ′(x)>0 при x ∈(x 0, x 0+ δ), то x 0− точка минимума. Если же f ′(x) при x ∈(x 0− δ, x 0+ δ), x ≠ x 0, сохраняет знак, то точка x 0 не является точкой экстремума. 2) Пусть функция f (x) дважды дифференцируема в критической точке x 0 и в некоторой ее окрестности. Если f ′′(x 0)<0, то x 0− точка максимума функции f (x), если f ′′(x 0)>0, то x 0 точка минимума. Если же f ′′(x 0)=0, то требуются дополнительные исследования. Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции f (x) на данном отрезке [ a, b ] достигается или в критических точках или на концах отрезка. Если функция в интервале имеет положительную (отрицательную) вторую производную, то кривая на этом интервале вогнута (выпукла). Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f на отрезке [a, b], непрерывной на нем: 1) вычислить производную функции f; 2) найти все критические точки x1, x2,…, xm функции f; принадлежащие интервалу (a, b); 3) найти значения функции f на концах отрезка [a, b] и в найденных выше критических точках. 2. Методические рекомендации по решению упражнений и задач. Пример 1: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: . Решение: Найдем первую производную функции . Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.
Пример 2: Пример 3: Провести полное исследование функции и построить ее график Решение: 1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения 2) Выясним, является ли функция четной или нечетной: . Отсюда следует, что функция является нечетной, т.е. график симметричен относительно начала координат. 3) Найдем точки пересечения с осями координат: - с осью ОХ: решим уравнение - с осью ОY: 4) Функция непрерывна, асимптот у нее нет. 5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: . Критические точки: .
6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции: Критические точки: .
7) По результатам исследования построим график функции: Пример 3: Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R. Решение: Пусть r – радиус основания цилиндра, h – высота. Нам нужно максимизировать объем цилиндра . Используя условие задачи, найдем связь между r и h. По теореме Пифагора из треугольника ABC следует, что . Отсюда . , по смыслу задачи 0≤ h ≤2 R. . Покажем, что при найденном значении h функция V принимает наибольшее значение.
Пример 3: Докажите что функция f(x)=-3x+sinx убывает на всей числовой оси. Решение: Найдем производную (для нахождения критических точек) f´(x)=(-3x+sinx)´= -3(x)´+(sinx)´=-3+cosх Найдем критические точки -3+cosх=0 cosх=3 Т. к. -1≤ cosх≤1, следовательно, данное уравнение решений не имеет, значит на всей числовой оси производная функции f(x)=-3x+sinx либо положительная, либо отрицательная. Определим знак производной, для этого возьмем любую точку и определим знак производной, получим f´(0)= -3+cos 0=-3+1=-2<0. Т. к. производная функции на всей числовой оси меньше нуля, т. е. f´(х) <0, следовательно, функция f(x)=-3x+sinx убывает на всей числовой оси. 3. Задания самостоятельной работы. 1 вариант 2 вариант
6. Контрольные вопросы 1. Сформулируйте правила дифференцирования. 2. Какие точки называются критическими? 3. Сформулируйте достаточныеусловия возрастания и убывания функции. 4. Сформулируйте необходимое условие экстремума. 5. Сформулируйте достаточныеусловия экстремума непрерывной функции. 6. Сформулируйте алгоритм исследования функции на наибольшее и наименьшее значения.
Практическое занятие № 2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-07; просмотров: 54; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.22.171.136 (0.003 с.) |