Краткие теоретические сведения.

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [ a;b ] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.

Площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс (ƒ(х) ≥ 0), равна соответствующему определенному интегралу:

Если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ох (ƒ(х) < 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

Формулы можно объединить в одну:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми у = = fι(x) и у = ƒг(х), прямыми х = а и х = b (при условии ƒ₂(х) ≥ ƒ₁(х)), можно найти по формуле

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.

Пусть функция f (x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [ a, b ]. Тогда тело, которое образуется вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x), имеет объём

Работа переменной силы F, величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующей на отрезке [а; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезку [а; b].

В этом состоит физический смысл определенного интеграла.

Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t=а до t=b, равен определенному интегралу от скорости v(t):

масса m неоднородного стержня на отрезке [a,b] равна определенному интегралу от плотности g(х):

2. Методические рекомендации по решению упражнений и задач.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и x = y².
Эти кривые пересекаются в точках A(0,0) и B(1,1). Поэтому  

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и графиком функции у = х² - 2х при х є [0; 3].

 

Решение: Фигура имеет вид, изображенный

 на рисунке. Находим ее площадь S:

 

Пример 3. Трапеция ограничена кривыми Вычислить объём тела, полученного вращением этой трапеции вокруг оси  Подставляя в формулу, получаем

Пример 4. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью и = (39,2—9,8^) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2—9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим

Пример 5. Сила упругости пружины, растянутой на 5 см, равна 3Н. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 5 см?
Решение.
По закону Гука сила F, растягивающая пружину на величину х, вычисляется по формуле F = kx, где k – постоянный коэффициент пропорциональности, точка 0 соответствует свободному положению пружины.
Из условия задачи следует, что 3 = k ^.0,05;  k=60 Þ F=60х.

3. Задания самостоятельной работы.

Вариант 1 1. Вычислить работу, производимую при сжатии пружины на 6 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила в 0,5 Н. 2. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: . 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 4. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: . 5. Скорость движения точки изменяется по закону  (м/с). Найти путь S, пройденный точкой за 10 с от начала движения.

Вариант 2 1. Вычислить работу, производимую при сжатии пружины на 4 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила в 1 Н. 2. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: . 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями . 4. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: . 5. Скорость движения точки изменяется по закону  (м/с). Найти путь S, пройденный точкой за четвертую секунду.

4. Контрольные вопросы

1. Какая фигура называется криволинейной трапецией?

2. Как найти площадь криволинейной трапеции с помощью интеграла?

3. В чём состоит физический смысл определённого интеграла?

4. Как найти работу переменной силы с помощью интеграла?

5. Как найти объём тела вращения с помощью интеграла?

 

 

Практическая работа № 6.

Тема: Решение дифференциальных уравнений I-го порядка.

Цель: Проверить на практике знание понятия дифференциального уравнения, виды дифференциальных уравнений, умение решать дифференциальные уравнения I порядков, находить общее и частное решение.

Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Практические задания по вариантам.

  Ход работы:

Теоретический материал и примеры решения дифференциальных уравнений.

1. Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит:
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую производную функции: .

Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

.

В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения.  Интегрируем обе части:
    
Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, – это общий интеграл.

Вместо записи обычно пишут .

В данном случае:

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Множество функций является общим решением дифференциального уравнения .

Придавая константе различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения.

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение.

Интегрируем уравнение:

Итак, общее решение: . На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию .

Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось заданное начальное условие .

 В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:

В общее решение подставляем найденное значение константы :
– это и есть нужное нам частное решение.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:

 Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:

Переменные разделены, интегрируем обе части:

Решение распишем очень подробно:

Ответ: общий интеграл:

Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если у вас не совпал результат с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию

Подставляем найденное значение константы в общее решение.

Ответ: частное решение:

Самостоятельная работа

    1 вариант                                                              2 вариант

Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 1.   2.   3. 4..   5. Решить задачу Коши:

Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

1.

2.

3.

4.

 

5. Решить задачу Коши: