Извлечение квадратного корня из комплексного числа.

При извлечении квадратного корня из комплексного числа a + bi имеем два случая:

если b > о, то ;

если b < о, то .

Пример 7. Вычислите .

Так как b < о, то воспользуемся формулой

 =  = .

 = ,  = .

2.   Выполнение практической самостоятельной работы по вариантам.

Упражнения для самостоятельной работы

1 вариант	2 вариант
Ответы на контрольные вопросы
1. Построите геометрическую модель комплексных чисел:
a) ; b) ; c) ; d)	a) ; b) ; c) ; d)
2. Решите квадратные уравнения:
a) x^2– 2x + 8 = 0; b) x^2– 4x + 5 = 0; c) x^2+ 6x + 69 = 0;	a) x^2+ 6x + 25 =0; b)  x^2-2x+2=0; c) x^2-4x +16 = 0;
3. Для данных комплексных чисел найдите:
а) ,	,
4. Выполните действия:
;	;

3. Контрольные вопросы

1. Что такое мнимая единица?

2. Что такое комплексное число?

3. Где применяются комплексные числа?

 

Практическая работа № 8

Тема: Выполнение действий над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Выполнение действий над комплексными числами, заданными в показательной форме.

Цель работы – закрепление полученных теоретических знаний и практических умений студентов на действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической и показательной форме.

Теоретический минимум

Пусть z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) и z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂). Имеем:

 

Видно, что в тригонометрической форме операции умножения и деления производятся особенно просто: для того, чтобы перемножить (разделить) два комплексных числа, нужно перемножить (разделить) их модули и сложить (вычесть) их аргументы.

Отсюда следует, что для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы: если φ₁, φ₂,..., φ_n – аргументы чисел z₁, z₂,..., z_n, то   

 

В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.

Первая формула Муавра:

- показательная форма комплексного числа

Где .

Действия над комплексными числами в показательной форме выполняются по правилам действий со степенями:

,

Примеры Пусть ,

.

Тогда ;

;

;

,

Написать в показательной форме комплексные числа:

а) б) ; в) ; г) д)

Решение а)

б)

в)

г)

Задания:

1. Выполнить действия:

1 вариант 1. Представьте в тригонометрической и показательной форме: 2. Найти все значения корней: 3. Возвести в степень, используя тригонометрическую и показательную форму:

2 вариант 1.Представьте в тригонометрической форме и показательной форме: 2. Найти все значения корней: 3. Возвести в степень, используя тригонометрическую и показательную форму:

Контрольные вопросы:

1. Что такое комплексное число?

2. Где применяются комплексные числа?

3. Напишите комплексное число в показательной форме.

4. Напишите комплексное число в тригонометрической форме.

Практическое занятие № 9