Тема: «Применение производной для решения прикладных задач».

Цель: научиться применять производную к решению прикладных задач.

Студент должен знать:

- формулы и правила вычисления производных;

- алгоритм исследования функции на наибольшее и наименьшее значения.

Студент должен уметь:

- вычислять производные функций, исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значения с помощью производной;

- применять полученные знания к решению задач.

План выполнения практической работы

1. Математическая разминка

2. Методические рекомендации по решению задач

3. Самостоятельная работа.

Задания для практической работы

1.  Математическая разминка

Сегодня мы с вами рассмотрим применение производных при решении различных прикладных задач в различных областях знаний.

Вспомним физический смысл производной и рассмотрим её применение в физике:

 Рассмотрим следующую таблицу и заполним её первый столбец:

2. Методические рекомендации по решению задач

Пример 1. Дано уравнение прямолинейного движения тела: , где S- путь, пройденный телом, м; t- время, с. Найдите скорость тела в момент времени t=1 c.

Решение. Скорость это производная пути по времени. Значит:    Подставив значение времени получим:

Пример 2. Точка движется по закону . Найти скорость и ускорение через 2 с после начала движения (движение считать прямолинейным).

Решение. Скорость это производная пути по времени. Значит: . Подставив значение времени получим

Пример 3. Тело движется прямолинейно по закону  Найти его кинетическую энергию через 5 с после начала движения, если масса тела 3 кг.

Решение. Формула нахождения кинетической энергии: . Найдем скорость тела. , . Кинетическая энергия тела составит: .

Рассмотрим решение экономических задач с помощью производной:

Пример 1. Выбрать оптимальный объем производства N фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью: F(q) = q² - 8q + 10.

Решение: Оптимальный объём производства есть производная от функции прибыли, т.е. N= F(q)

 F'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 → q_extr = 4

При q < q_extr = 4 → F'(q) < 0 и прибыль убывает

При q > q_extr = 4 → F'(q) > 0 и прибыль возрастает

При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.

3. Самостоятельная работа.

1вариант. 1. Дано уравнение прямолинейного движения тела:, S=2t^3-8t+2, где S- путь, пройденный телом, м; t- время, с. Найдите скорость тела в момент времени t=3 c. 2. Точка движется по закону . Найти скорость и ускорение через 3 с после начала движения (движение считать прямолинейным). 3. Пусть q=t^3 - 4t +8- количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время . Найдем силу тока в данный момент времени =2c. 4.Пусть дан неоднородный стержень длины , масса неоднородного стержня меняется по закону: m=2x^3 -8x +12. Найти линейную плотность стержня в данной точке =4 5.Прибыль фирмы задана зависимостью: F(q) =4 q^2 - 4q + 12.Найти оптимальный объём производства N фирмы.

2 вариант. 1. Дано уравнение прямолинейного движения тела:, S=3t^2-5t+2, где S- путь, пройденный телом, м; t- время, с. Найдите скорость тела в момент времени t=4 c. 2. Точка движется по закону . Найти скорость и ускорение через 4 с после начала движения (движение считать прямолинейным). 3. Пусть q= 3t^2 - 5t +8- количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время . Найдем силу тока в данный момент времени =3c. 4.Пусть дан неоднородный стержень длины , масса неоднородного стержня меняется по закону: m=3x^2 -5x +12. Найти линейную плотность стержня в данной точке =4 5.Прибыль фирмы задана зависимостью: F(q) = 5q^2 - 5q + 12. Найти оптимальный объём производства N фирмы.

4. Контрольные вопросы:

1) Какие физические величины можно найти с помощью производной?

2) Как найти наибольшее и наименьшее значения функции с помощью производной?

3) Геометрический смысл производной?

4) Какие прикладные задачи можно решить с помощью призводной?

 

 

Практическая работа № 3