Тема: «Исследование функций и построение их графиков»

Тема: «Исследование функций и построение их графиков»

Цели:

· научиться исследовать функции с помощью производной;

· научиться применять производную при решении задач.

В результате выполнения работы студент должен знать связь производной функции со свойствами монотонности функции: возрастанием, убыванием и экстремумами.

Должен уметь исследовать функцию с помощью производной.

План выполнения практической работы

1. Повторение основных теоретических сведений по данной теме

2. Изучение методических рекомендаций по решению задач и выполнение упражнений и задач.

3. Выполнение практической самостоятельной работы по вариантам.                     

4. Письменные ответы на контрольные вопросы                  

Задания для практической работы.

Практическое занятие № 2

Тема: «Применение производной для решения прикладных задач».

Цель: научиться применять производную к решению прикладных задач.

Студент должен знать:

- формулы и правила вычисления производных;

- алгоритм исследования функции на наибольшее и наименьшее значения.

Студент должен уметь:

- вычислять производные функций, исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значения с помощью производной;

- применять полученные знания к решению задач.

План выполнения практической работы

1. Математическая разминка

2. Методические рекомендации по решению задач

3. Самостоятельная работа.

Задания для практической работы

1.  Математическая разминка

Сегодня мы с вами рассмотрим применение производных при решении различных прикладных задач в различных областях знаний.

Вспомним физический смысл производной и рассмотрим её применение в физике:

 Рассмотрим следующую таблицу и заполним её первый столбец:

2. Методические рекомендации по решению задач

Пример 1. Дано уравнение прямолинейного движения тела: , где S- путь, пройденный телом, м; t- время, с. Найдите скорость тела в момент времени t=1 c.

Решение. Скорость это производная пути по времени. Значит:    Подставив значение времени получим:

Пример 2. Точка движется по закону . Найти скорость и ускорение через 2 с после начала движения (движение считать прямолинейным).

Решение. Скорость это производная пути по времени. Значит: . Подставив значение времени получим

Пример 3. Тело движется прямолинейно по закону  Найти его кинетическую энергию через 5 с после начала движения, если масса тела 3 кг.

Решение. Формула нахождения кинетической энергии: . Найдем скорость тела. , . Кинетическая энергия тела составит: .

Рассмотрим решение экономических задач с помощью производной:

Пример 1. Выбрать оптимальный объем производства N фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью: F(q) = q² - 8q + 10.

Решение: Оптимальный объём производства есть производная от функции прибыли, т.е. N= F(q)

 F'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 → q_extr = 4

При q < q_extr = 4 → F'(q) < 0 и прибыль убывает

При q > q_extr = 4 → F'(q) > 0 и прибыль возрастает

При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.

3. Самостоятельная работа.

1вариант. 1. Дано уравнение прямолинейного движения тела:, S=2t3-8t+2, где S- путь, пройденный телом, м; t- время, с. Найдите скорость тела в момент времени t=3 c. 2. Точка движется по закону . Найти скорость и ускорение через 3 с после начала движения (движение считать прямолинейным). 3. Пусть q=t3 - 4t +8- количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время . Найдем силу тока в данный момент времени =2c. 4.Пусть дан неоднородный стержень длины , масса неоднородного стержня меняется по закону: m=2x3 -8x +12. Найти линейную плотность стержня в данной точке =4 5.Прибыль фирмы задана зависимостью: F(q) =4 q2 - 4q + 12.Найти оптимальный объём производства N фирмы.

2 вариант. 1. Дано уравнение прямолинейного движения тела:, S=3t2-5t+2, где S- путь, пройденный телом, м; t- время, с. Найдите скорость тела в момент времени t=4 c. 2. Точка движется по закону . Найти скорость и ускорение через 4 с после начала движения (движение считать прямолинейным). 3. Пусть q= 3t2 - 5t +8- количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время . Найдем силу тока в данный момент времени =3c. 4.Пусть дан неоднородный стержень длины , масса неоднородного стержня меняется по закону: m=3x2 -5x +12. Найти линейную плотность стержня в данной точке =4 5.Прибыль фирмы задана зависимостью: F(q) = 5q2 - 5q + 12. Найти оптимальный объём производства N фирмы.

4. Контрольные вопросы:

1) Какие физические величины можно найти с помощью производной?

2) Как найти наибольшее и наименьшее значения функции с помощью производной?

3) Геометрический смысл производной?

4) Какие прикладные задачи можно решить с помощью призводной?

 

 

Практическая работа № 3

Задания для практической работы.

Метод замены переменной

Существуют две формулы замены переменной в неопределенном интеграле:

1) 2)

Здесь суть монотонные дифференцируемые функции своих переменных.

Искусство применения метода состоит, в основном, в выборе функций так, чтобы новые интегралы являлись табличными или сводились к ним. В окончательном ответе следует вернуться к старой переменной.

Заметим, что подведение под знак дифференциала является частным случаем замены переменной.

2. Методические рекомендации по решению упражнений и задач.

Пример 1.

Решение. Здесь следует ввести новую переменную t так, чтобы избавиться от квадратного корня. Положим x + 1 = t, тогда x = t2 + 1, а dx = 2tdt:

Пример 2.

Решение. Заменив x - 2 на t, получим в знаменателе одночлен и после почленного деления интеграл сведется к табличному от степенной функции:

2. Используя основные правила интегрирования и таблицу интегралов, найдите следующие неопределенные интегралы:

а) ; б) ; в) ;    г) ;

3. Задания самостоятельной работы.

1 вариант Найдите следующие неопределенные интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; Найти неопределенные интегралы методом подстановки. 1. . 2.	2 вариант Найдите следующие неопределенные интегралы: 1) ; 2) ; 3) 4) ; 5) Найти неопределенные интегралы методом подстановки. 1. . 2. .
3 вариант Найдите следующие неопределенные интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; Найти неопределенные интегралы методом подстановки. 1. . 2. .	4 вариант Найдите следующие неопределенные интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; Найти неопределенные интегралы методом подстановки. 1. . 2. .

4. Контрольные вопросы

1) Что называется неопределённым интегралом?

2) Свойства неопределенного интеграла?

3) Какие методы нахождения неопределённых интегралов вы освоили?

4) В чём суть метода замены переменной?

 

 

Практическая работа № 4

Практическая работа № 5

Задания для практической работы.

Практическая работа № 6.

Тема: Решение дифференциальных уравнений I-го порядка.

Цель: Проверить на практике знание понятия дифференциального уравнения, виды дифференциальных уравнений, умение решать дифференциальные уравнения I порядков, находить общее и частное решение.

Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Практические задания по вариантам.

  Ход работы:

Теоретический материал и примеры решения дифференциальных уравнений.

1. Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит:
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую производную функции: .

Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

.

В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения.  Интегрируем обе части:
    
Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, – это общий интеграл.

Вместо записи обычно пишут .

В данном случае:

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Множество функций является общим решением дифференциального уравнения .

Придавая константе различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения.

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение.

Интегрируем уравнение:

Итак, общее решение: . На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию .

Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось заданное начальное условие .

 В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:

В общее решение подставляем найденное значение константы :
– это и есть нужное нам частное решение.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:

 Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:

Переменные разделены, интегрируем обе части:

Решение распишем очень подробно:

Ответ: общий интеграл:

Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если у вас не совпал результат с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию

Подставляем найденное значение константы в общее решение.

Ответ: частное решение:

Самостоятельная работа

    1 вариант                                                              2 вариант

Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 1.   2.   3. 4..   5. Решить задачу Коши:

Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

1.

2.

3.

4.

 

5. Решить задачу Коши: