Теорема об изменении количества движения и теорема о движении центра масс

Пример 4.1

По горизонтальной платформе, движущейся по инерции со скоростью , перемещается тележка с постоянной относительной скоростью . Через некоторое время тележка была заторможена. Определить общую скорость  платформы с тележкой после остановки тележки, если  – масса платформы;  – масса тележки (Рис.4.1).

 

По условию система платформа-тележка движется под действием вертикальных сил. Следовательно,   и проекция количества движения системы на горизонтальную ось  постоянна. Используя определение количества движения, приравниваем проекции на ось  количества движения системы платформа-тележка при движении тележки и после ее остановки:

Отсюда:    

 

Рис. 4.1		Рис. 4.2

 

Пример 4.2

Сохраняя условия предыдущей задачи, определить путь , который пройдет тележка по платформе с начала торможения до полной остановки, и время торможения , если считать, что при торможении возникает постоянная по величине сила сопротивления .

Рассмотрим движение тележки (Рис. 4.2). Теорема об изменении количества движения тележки в проекциях на ось  имеет вид:

 

                                           

 

Как показано в предыдущем примере, проекция на ось  количества движения системы платформа – тележка постоянна:

 

                                   

 

Дифференцируя равенство  по времени и исключая затем ускорение платформы  из уравнения , получаем дифференциальное уравнение движения тележки:

 

                                             

 

интегрируя которое, получаем сначала закон изменения скорости тележки:

 

                                           

а затем и закон относительного движения тележки: 

 

                                    

 

Учитывая, что при  и  из уравнений  и  получаем:

 

                                

 

     

Применение теоремы об изменении количества движения к анализу быстропротекающих процессов (удар, взрыв и т.д.)

 

  Для решения подобных задач применяется интегральная форма записи теоремы об изменении количества движения механической системы:

 

где   – импульс силы  за время .

 

Пример 4.3

Масса ствола орудия . Масса снаряда . Определить скорость  свободного отката ствола орудия в момент вылета снаряда из ствола, если скорость снаряда у дульного среза равна  (Рис. 4.3).

Система внешних сил состоит из сил тяжести ствола и снаряда и силы реакции опоры ствола. Оценим влияние силы тяжести на изучаемый процесс. В первом приближении будем считать давление пороховых газов постоянным за время . Тогда движение снаряда в канале ствола можно считать равноускоренным при нулевых начальных условиях. В таком случае имеем:

 

Примем для определенности длину канала ствола равной  Тогда

 

 

Рис. 4.3

 

Максимальная проекция на ось  импульса силы тяжести снаряда (при ) составит

 

 

в то время как импульс силы давления пороховых газов составит

 

Понятно, что обычные силы (силы тяжести, реакции опор) создают импульс, пренебрежимо малый по сравнению с импульсом ударных сил, так что . Учитывая, что в начальный момент система покоилась, получаем  

Количество движения рассматриваемой системы складывается из количеств движения ствола и снаряда