Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Первая и вторая задачи динамики материальной точки
Пример 1.1
Груз массы , подвешенный на нити длины , другой конец которой закреплен в точке , представляет собой конический маятник, т.е. описывает окружность в горизонтальной плоскости (Рис.1.1). Нить образует с вертикалью угол . Определить скорость груза и силу натяжения нити .
Рассмотрим движение груза , который по условию задачи можно считать материальной точкой. Поскольку траектория точки известна, используем уравнения движения в проекциях на оси естественного трёхгранника. В рассматриваемом случае эти уравнения имеют вид:
Последнее уравнение позволяет определить силу : Из первого уравнения можно сделать вывод, что в процессе движения скорость точки не изменяет свою величину; определить эту величину можно из второго уравнения:
Заметим, что в решении фигурирует сила реакции нити, но искомая сила натяжения нити равна ей по модулю.
Пример 1.2
Автомобиль массы движется по выпуклому мосту равномерно со скоростью (Рис.1.2). Радиус кривизны в середине моста . Определить силу давления автомобиля на мост в момент прохождения его через середину моста.
Рассмотрим автомобиль в верней точке моста. Силы, действующие в направлении касательной к траектории – сила трения, сила сопротивления воздуха неизвестны. В направлении главной нормали к траектории действуют известная сила тяжести и нормальная реакция опоры, которую и требуется определить. Поэтому запишем уравнение движения в проекциях на главную нормаль к траектории. В рассматриваемом случае это уравнение принимает вид:
отсюда:
По третьему закону Ньютона сила давления автомобиля на мост по модулю равна нормальной реакции.
Пример 1.3 Решето рудообогатительного грохота движется поступательно по вертикали по закону . Найти наименьшую частоту колебаний решета, при которой куски руды, лежащие на нем, будут отделяться от него и подбрасываться вверх.
Направим ось вертикально вверх (Рис.1.3). Дифференциальное уравнение движения имеет вид:
Отсюда:
Минимальное значение нормальная реакция принимает в верхней точке, где :
Если кусок руды отделяется от решета, то отсюда
Пример 1.4
Материальная точка массы совершает прямолинейное движение под действием силы, изменяющейся по закону , где и — постоянные величины. В начальный момент точка имела скорость . Найти уравнение движения точки.
Направим ось вдоль прямой, по которой движется точка, совместив начало отсчета с начальным положением точки. На основании второго закона Ньютона в проекции на ось получаем:
Интегрируя полученное дифференциальное уравнение движения точки
определяем зависимость ее скорости от времени: Поскольку , полученное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение относительно функции :
интегрируя которое, определяем закон движения точки:
Пример 1.5 На какую высоту и за какое время поднимется тело весом , брошенное вертикально вверх со скоростью , если сопротивление воздуха может быть выражено формулой , где — скорость тела?
или, учитывая что , вид:
Уравнение представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Чтобы получить зависимость скорости от времени, выполняем интегрирование с переменным верхним пределом. Учитывая начальные условия, получаем:
отсюда:
Теперь мы имеем возможность определить время подъема тела на максимальную высоту. Подставляя в уравнение (с) условия при получаем Остается определить максимальную высоту подъема . Уравнение можно рассматривать как дифференциальное уравнение относительно функции , поскольку , но интегрирование уравнения
представляется неудобным. Помимо зависимости , для определения нас вполне устраивает зависимость , поскольку скорость в верхней точке известна: . Перейдем в уравнении от производной по к производной по , полагая
Уравнение принимает вид:
Интегрируя уравнение
получаем: Заметим, что соотношение представляет собой одну из форм записи теоремы об изменении кинетической энергии, которую мы докажем позднее.
|
||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-08-16; просмотров: 66; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.58.252.8 (0.013 с.) |