Элементарной работой силы называется величина, равная скалярному произведению вектора силы на элементарное перемещение точки приложения силы:

                                                                                 (5.2)

 

В зависимости от используемого способа задания движения точки её скорость может быть вычислена по одной из следующих формул:

 

                                              

 

Таким образом, для вычисления элементарной работы силы получаем формулы:

 

 

Работа силы на конечном перемещении  определяется как сумма соответствующих элементарных работ, т.е. как криволинейный интеграл, взятый вдоль дуги  траектории:

                                 

                                                               (5.3)

 

 

Рис. 5.1

 

В общем случае сила может зависеть от координат точки приложения силы, ее скорости и времени. Таким образом, для вычисления работы силы в общем случае необходимо знать траекторию точки приложения силы и закон ее движения по траектории. Однако, при решении большинства задач динамики именно закон движения точки и является искомым.

Рассмотрим силы, которые зависят только от положения точки, т.е. от ее координат, и времени. Такие силы называются позиционными. Физическое пространство, в котором на материальную точку действуют позиционные силы, называется силовым полем. В случае действия на точку позиционных сил интеграл (5.3) может быть вычислен, если известна только траектория точки приложения силы.

Особый класс составляют силы, работа которых не зависит от траектории, а определяется только начальным и конечным положениями точки. Такие силы называются потенциальными.

Очевидно, что вычисление интеграла (5.3) лишь по известным начальному и конечному положениям точки возможно только в том случае, когда подинтегральное выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции координат:

 

                                                                                               (5.4)

 

Как следует из (13.3) и (13.4), работа потенциальной силы равна разности значений потенциальной энергии в начальном и конечном положениях:

 

                                                                                  

 

Потенциальной энергией механической системы называется сумма потенциальных энергий всех её точек.

Мощностью силы называется работа, произведённая в единицу времени:

 

.

Учитывая формулу (4.7), для вычисления мощности силы получаем:

 

                                                               ,                                                         (5.5)

 

т.е. мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости точки приложения силы.

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

 

1. Как выглядят дифференциальные уравнения поступательного движения абсолютно твёрдого тела?
2. Как выглядит дифференциальное уравнение вращательного движения абсолютно твёрдого тела?
3. Как выглядят дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения абсолютно твёрдого тела?
4. Что называется кинетической энергией материальной точки и механической системы?
5. Что называется элементарной работой силы и работой силы на конечном перемещении?
6. Что называется мощностью силы?

 

ЛЕКЦИЯ 5 (13)

 

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

 

Теорема об изменении кинетической энергии относится к числу общих теорем динамики наряду с доказанными ранее теоремами об изменении количества движения и изменения момента количества движения.

Умножим каждое из дифференциальных уравнений движения точек механической системы скалярно на скорость соответствующей точки и сложим все полученные уравнения:

    или     

 

Учитывая определения кинетической энергии механической системы  и мощности силы, получаем:

                                                                                                           (5.6)

 

Доказана теорема об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:

 

производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

 

Умножая равенство (5.6) на  и учитывая определение элементарной работы силы, получаем:

                                                                                                        (5.7)

т.е.

дифференциал кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

 

Для практических целей удобна интегральная форма записи теоремы об изменении кинетической энергии, которая получается путем интегрирования равенства (5.7) на некотором перемещении системы:

                                                                                                         (5.8)

т.е.

изменение кинетической энергии механической системы при некотором ее перемещении равно сумме работ всех приложенных к системе внешних и внутренних сил, совершенных на этом перемещении.