Определение динамических реакций связей при заданном движении механической системы

Этот вопрос решается с одинаковой степенью сложности как с помощью теоремы об изменении количества движения, так и на основе теоремы о движении центра масс механической системы:

 

;   

Пример 4.4

Электродвигатель состоит из двух основных частей — статора, закрепленного на фундаменте болтами, и ротора, вращающегося равномерно с угловой скоростью  вокруг неподвижной оси  (Рис. 4.4). Центр масс статора находится в точке , ротора — в точке  Масса статора равна , ротора —  Определить суммарные составляющие реакций болтов и горизонтального фундамента.

Главный вектор сил реакций болтов и фундамента представим горизонтальной  и вертикальной  составляющими. Искомые величины определяем, например, при помощи теоремы о движении центра масс механической системы, из которой в рассматриваемом случае получаем в проекциях на координатные оси уравнения:

 

 

где  – масса системы.

 

Рис. 4.4

Определяем координаты центра масс  электромотора:

 

 

 

где  – координаты точки  – координаты точки .

Дифференцируя последние равенства дважды по времени, и учитывая, что статор неподвижен  получаем:

 

      

 

Подставляя  в , находим:

 

              

 

Полученный результат показывает, что реакции опор будут пульсирующими, что недопустимо при работе многих механизмов (маховики, двигатели, турбины и т.д.). Заметим, что динамические реакции не будут отличаться от статических, если центр масс вращающейся части механизма (ротора) будет расположен на оси вращения .

 

Определение относительных скоростей и  относительных перемещений тел системы

Рассмотрим задачи, в которых при условии сохранения проекции количества движения на какую-либо ось необходимо определить взаимные относительные перемещения отдельных частей механической системы.

Пусть система внешних сил, приложенных к механической системе, такова, что сумма проекций всех сил на какое-либо направление равна нулю:

 

                                                                                                                                

 

В этом случае, например,  из теоремы о движении центра масс получаем:

 

          и, следовательно,    ,

 

где   – проекции начальной и конечной скоростей точки с номером .

Если в начальный момент система находилась в покое, то

                                                                             

     и, следовательно,    

 

Рассмотрим два состояния системы – начальное и конечное. По определению центра масс механической системы, получаем:

                                 

где  и  – соответственно начальные и конечные координаты точек. Отсюда, учитывая что  получаем:

                                                                                     

Пример 4.5

Два груза  (тело 1) и  (тело 2) с массами  и  соответственно, соединенные нерастяжимой нитью, переброшенной через блок , скользят по боковым поверхностям призмы (тело 3), опирающейся на гладкую горизонтальную плоскость (Рис. 4.5). Определить перемещение призмы по горизонтальной плоскости, если груз  опустится на высоту . Масса призмы равна  массой блока и нити пренебречь.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из трех тел. В этом случае система внешних сил состоит из сил тяжести и нормальной реакции опорной поверхности, причем справедливо равенство   и, следовательно, справедливо равенство . Найдем горизонтальные перемещения тел:

 

Рис. 4.5

                                                                             

 

Получаем:

Отсюда: