Применение теоремы об изменении кинетической энергии к составлению дифференциальных уравнений движения механической системы

 

Используется теорема об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:

Пример 5.5

Однородный стержень  длины  и массы  вращается вокруг вертикальной оси  под действием постоянного вращающего момента . На стержень действует момент сил сопротивления, пропорциональный угловой скорости . Найти зависимость угловой скорости стержня от угла поворота, если в начальный момент он покоился.

 

При заданных условиях невозможно вычислить работу момента сил сопротивления

,

так как неизвестна зависимость угловой скорости  от угла поворота .

Рис. 5.6

Применяем теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:

.

Кинетическая энергия системы равна:

 

.

 

Мощность силы тяжести и силы реакции шарнира  равна нулю.

Мощность вращающего момента и момента сил сопротивления равна:

 

.

 

Теорема об изменении кинетической энергии принимает вид:

 

.

 

Учитывая, что , получаем дифференциальное уравнение вращения стержня:

,

интегрируя которое  ,  получаем:  .

 

 

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:

 

Из сборника задач И.В.Мещерского: 38.3; 38.4; 38.9; 38.20; 38.24; 38.28; 38.30; 38.24; 38.35; 38.38; 38.40; 38.42; 38.41.

 

Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплект СР-32.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6

ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА

Пример 6.1

Однородный стержень  массы  и длиной  вращается вокруг горизонтальной оси  под действием силы тяжести. В данный момент времени стержень имеет угловую скорость  и составляет с вертикалью угол  (Рис.6.1). Определить статическую и дополнительную динамическую реакции шарнирной опоры .

 

В рассматриваемом случае система сил инерции Даламбера может быть приведена к паре сил с моментом  и силе инерции ,

где                              

 

Рис. 6.1

Для определения дополнительных динамических реакций составляем уравнения кинетостатики, предполагая, что активных сил нет, т.е. сила тяжести отсутствует. Получаем:

 

 

Для определения «статических» реакций составляем уравнения кинетостатики, предполагая, что отсутствуют силы инерции Даламбера:

 

 

Динамические реакции шарнирной опоры представляют собой сумму статических и дополнительных динамических реакций:

 

 

Для определения углового ускорения  составляем второе уравнение кинетостатики. Заметим, что при определении кинематических характеристик следует учитывать все внешние силы и силы инерции Даламбера:

 

или    Отсюда:

Пример 6.2

Ломаный стержень  левым концом защемлен в стене. По наклонной части стержня под действием силы тяжести скатывается без скольжения однородный цилиндр массы  радиуса . Пренебрегая весом балки, определить реакцию заделки как функцию расстояния  (Рис. 6.2).

 

Систему сил инерции цилиндра заменяем силой инерции  и парой сил инерции с моментом   (Рис. 6.3),

Рассмотрим движение цилиндра. Уравнения кинетостатики для цилиндра имеют вид:

 

                                     

Здесь

                                                   

 

где  – момент инерции цилиндра относительно оси .

 

Рис. 6.2		Рис. 6.3

 

 

По условию колесо катится без скольжения, следовательно: . Тогда  и

 

                                                   

 

Исключая из уравнений кинетостатики силу трения, получаем:

 

Рис. 6.4

Теперь можно вычислить момент пары сил инерции:

 

 

Для определения искомых составляющих реакции жесткой заделки составим уравнения кинетостатики для всей системы (Рис. 6.4), состоящей из балки и катящегося по ней цилиндра:

 

                                       

 

           

Из этих уравнений определяем составляющие реакции заделки.

 

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:

 

Из сборника задач И.В.Мещерского: 41.16; 41.17; 41.21; 41.22; 42.5; 42.7; 42.8.  

 

Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплект СР-33.

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7

ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ