Принцип возможных перемещений

Пример 7.1

 

Рис. 7.1

Определить зависимость между модулями сил  и  в клиновом прессе, если сила  приложена к концу рукоятки длины  перпендикулярно плоскости, содержащей рукоятку и ось винта (Рис. 7.1). Шаг винта равен . Угол при вершине клина .

 

 Дадим системе возможное перемещение: пусть  – угол поворота рукоятки;  – перемещение точки ;  – горизонтальное перемещение клина;  – вертикальное перемещение точки .

При исследовании условий равновесия механизмов в зависимости от конкретной задачи, исходя из соображений удобства, можно использовать как возможные скорости, так и возможные перемещения. Для сравнения в этом первом разбираемом примере рассмотрим и возможные перемещения, и возможные скорости.

Условия равновесия системы можно записать в виде:

 

Возможные перемещения связаны между собой соотношениями (Рис. 7.2)

 

или (для возможных скоростей)

                                                                             

Рис. 7.2

 

Отсюда:

                              

Теперь условия равновесия записываются в виде

                                                                                                       

Отсюда:

                                                             

 

Пример 7.2

Рис. 7.3

Полиспаст состоит из неподвижного блока и  подвижных блоков (Рис. 7.3). Определить в случае равновесия отношение веса  поднимаемого груза  к величине силы , приложенной к свободному концу  троса.

 

Условие равновесия имеет вид

                                                                             

 

Рассмотрим первый из подвижных блоков. Точка  – мгновенный центр скоростей блока (Рис. 7.4). Возможная скорость точки  численно равна возможной скорости точки . Следовательно,  Скорость центра каждого последующего подвижного блока равна половине скорости центра предыдущего подвижного блока. Таким образом,

Рис. 7.4

 

Подставляя полученный результат в условие равновесия, имеем:

 

                                                                             

 

 

Пример 7.3

Составная балка , лежащая на двух опорах  и , состоит из трех балок ,  и , шарнирно соединенных в точках  и . Балка  в сечении  защемлена в стене. К балке приложены три силы ,  и  и момент  (Рис.7.5). Определить реакцию опоры , составляющие реакции заделки, а также момент реакции заделки.

 

Рис. 7.5

1. Определим реакцию опоры . Отбросим подвижный шарнир , заменив его действие реакцией . Зададим возможные скорости системы. Эпюры возможных скоростей приведены на Рис. 7.6. Условие равновесия принимает вид:

 

                                                                             

Балка  вращается вокруг шарнира  и, следовательно,

 

 

Балка  совершает плоскопараллельное движение. Ее мгновенный центр скоростей совпадает с точкой . Возможные скорости связаны соотношениями

 

 

Рис. 7.6

 

Выражая возможные скорости через какую-нибудь одну, например , записываем условие равновесия в виде:

                                                                             

Поскольку  – любая возможная скорость (не равная нулю), приравниваем скобку к нулю и находим:

                                        

 

2. Найдем горизонтальную составляющую реакции заделки. Заменим жесткое защемление в сечении  на скользящую заделку с горизонтальными направляющими (Рис.7.7). При этом необходимо ввести горизонтальную составляющую реакции заделки  Составная балка  получает возможность перемещаться поступательно в горизонтальном направлении.

Условие равновесия принимает вид:

Но  и, следовательно,

                                                           

 

Рис. 7.7

 

3. Определим вертикальную составляющую реакции заделки. Заменим жесткую заделку на скользящую с вертикальными направляющими (Рис. 7.8). Балка  получает возможность поступательного перемещения по вертикали. Балка  может двигаться плоско–параллельно, имея мгновенный центр скоростей в точке . Мгновенный центр скоростей балки  по–прежнему находится в точке . Условие равновесия принимает вид:

                                                                             

Рис. 7.8

 

Возможные скорости связаны между собой соотношениями:

 

                                                                             

Выражая возможные скорости через какую-нибудь одну, например , получаем:

 

                                                                             

откуда:

                                                                             

4. Для определения реактивного момента  предоставим балке  возможность вращаться, заменив жесткое защемление в сечении  неподвижным шарниром (Рис. 7.9).

Условие равновесия принимает вид:

 

                                                                             

По сравнению с предыдущим случаем изменилось кинематическое состояние только стержня . Теперь

 

Рис. 7.9

 

Опять вынося за скобку ,

                                                                             

получаем:

Общее уравнение динамики

 

Пример 7.4

Колесо  скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтом (Рис. 7.10). К оси колеса привязан трос, переброшенный через неподвижный блок  и прикрепленный к грузу , поднимающемуся по наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтом. В начальный момент система находилась в покое. Колесо и блок представляют собой сплошные однородные диски с массами  и  и радиусами  и  соответственно. Масса груза равна . Коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью равен . Определить ускорение оси  катка.

 

При составлении силовой схемы необходимо учесть приложенные к системе активные силы, которые могут совершить работу на возможном перемещении системы, все силы инерции и реакции неидеальных связей (в данном случае силу трения ). Общее уравнение динамики можно записать как через возможные перемещения, так и через возможные скорости. В рассматриваемом случае получаем:

              

причем,  

Рис. 7.10

 

Условия, налагаемые связями, приводят к соотношениям:

 

                                         

 

Отсюда получаем соотношения между ускорениями:

 

                                                   

Полученные результаты подставляем в общее уравнение динамики:

 

                   

 

Подставляя значения моментов инерции и силы трения, окончательно получаем:

 

                                           ,

 

Пример 7.5

Призма (тело 1) массы  может скользить по идеально гладкой горизонтальной поверхности. В вершине призмы закреплена ось барабана лебедки (тело 2). Конец троса прикреплен к оси катка (тело 3), который катится без проскальзывания по боковой поверхности призмы (Рис. 7.11). Барабан лебедки и каток — сплошные однородные цилиндры одинаковой массы  и одинакового радиуса . К барабану лебедки приложен постоянный вращающий момент .

Получить дифференциальные уравнения движения системы на основе общего уравнения динамики.

 

Силовая и кинематическая схемы представлены на Рис. 7.11. Общее уравнение динамики в рассматриваемом случае имеет вид:

 

 

Система имеет две степени свободы. В качестве независимых координат примем координату призмы  и относительную координату оси катка . Кинематические условия, налагаемые связями, имеют вид:

 

Отсюда:     и

 

Учитывая, что

                                      

 

                              

 

                                  

 

получаем общее уравнение динамики в виде:

 

             

 

Рис. 7.11

 

Поскольку возможные перемещения  и  могут принимать любые значения и не зависят друг от друга, общее уравнение динамики распадается на систему двух дифференциальных уравнений относительно координат  и :

 

                                            

 

                                            

 

 

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:

 

Из сборника задач И.В.Мещерского: 46.1; 46.2; 46.3; 46.8; 46.9; 46.10; 46.11; 46.12; 46.20; 46.21; 46.22; 46.24; 46.26; 46.27; 46.29; 47.5; 47.9; 47.11; 47.12; 47.15.  

 

Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплекты СР-34; СР-35.

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 8