Системы, состоящие из тел, совершающих простейшие движения

Если в состав механической системы входят как вращающиеся тела, так и поступательно движущиеся тела, то имеет смысл рассматривать движение каждого тела в отдельности, применяя для описания соответствующего движения теорему о движении центра масс или теорему об изменении кинетического момента относительно оси вращения.

Пример 4.11

 

При пуске в ход электрической лебедки к барабану  приложен вращающий момент, пропорциональный времени . Груз  массы  поднимается при помощи каната, намотанного на барабан (Рис. 4.11). Определить угловую скорость барабана. Барабан считать однородным сплошным цилиндром массы  радиусом . В начальный момент система находилась в покое.

Рассмотрим движение каждого тела в отдельности. Силовые и кинематические схемы изображены на Рис. 4.11. Тело  движется поступательно и прямолинейно. Записывая теорему о движении центра масс в проекциях на вертикаль, получаем:

 

Рис. 4.11

 

Дифференциальное уравнение вращательного движения для тела  представляется в виде:

 

 

Поскольку масса троса не учитывается, . Скорость любой точки на ободе барабана равна скорости груза, следовательно, .

Исключая из полученной системы уравнений  и , получаем дифференциальное уравнение

 

 

интегрируя которое при заданных начальных условиях

 

       находим:       

 

Плоскопараллельное движение твёрдого тела

  Дифференциальные уравнения движения имеют вид:

;       

где  — момент инерции тела относительно оси .

Пример 4.12

Однородный сплошной круглый диск катится без скольжения по наклонной плоскости, расположенной под углом  к горизонту (Рис. 4.12). Определить диапазон углов наклона плоскости к горизонту, при которых возможно качение без скольжения, и скорость оси диска. В начальный момент диск находился в покое.

 

При изучении движения тела по наклонной плоскости имеет смысл одну из координатных осей направить вдоль наклонной плоскости, а вторую перпендикулярно к ней. Кинематическая и силовая схемы представлены на Рис. 4.12. Движение диска плоскопараллельное; скорость  центра масс параллельна наклонной плоскости. Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения принимают вид:

 

            ()

 

где  – радиус диска; .

Нетрудно видеть, что три уравнения движения содержат четыре неизвестные. По условию колесо катится без скольжения и, следовательно, точка касания – точка  является мгновенным центром скоростей. В таком случае скорость точки  и угловая скорость колеса связаны равенством

Рис. 4.12

 

Разрешим систему уравнений () относительно ускорения центра масс:

                

Отсюда:     

     

 Тогда   

                                                                     

 

Остается определить, при каких углах  возможно качение без скольжения. При отсутствии скольжения возникающая сила трения должна удовлетворять неравенству

 

                                                           () 

 

где  – коэффициент трения. Определяя из уравнений движения ()  и , находим:

 

                                            

Тогда неравенство () представляется в виде:

 

Отсюда: 

Пример 4.13

Колесо массы  радиуса  катится по горизонтальному прямолинейному рельсу. К колесу приложен вращающий момент  (Рис. 4.13). Радиус инерции колеса относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно его плоскости, равен . Коэффициент трения скольжения между колесом и рельсом равен . Какому условию должен удовлетворять вращающий момент, чтобы колесо катилось без скольжения? Моментом сопротивления качению пренебречь.

 

Рис. 4.13

В зависимости от приложенной активной нагрузки различают ведущие и ведомые колеса. В данной задаче рассматривается ведущее колесо, поскольку к нему приложен вращающий момент. Силовая и кинематическая схемы изображены на Рис. 4.13. Обратим внимание на направление силы трения . Сила трения направлена против скорости возможного проскальзывания своей точки приложения – точки . Если колесо пробуксовывает, то скорость точки  направлена влево, а сила трения, соответственно, вправо – в сторону движения оси колеса. Ряд сил на чертеже изображен пунктиром – это составляющие реакции корпуса экипажа, представленные силами  и . Эти силы присутствуют в реальной ситуации, но при решении данной задачи мы не будем их учитывать. Моментом сопротивления качению  также пренебрегаем. Таким образом, реакция экипажа сводится в данной задаче к паре сил, создающей вращающий момент .

Уравнения плоскопараллельного движения тела  в рассматриваемом случае принимают вид:

Предположим, что колесо катится без проскальзывания. Тогда точка касания  колеса и опорной поверхности будет для колеса мгновенным центром скоростей и, следовательно,

 

        

 

Возникающая при этом сила трения будет силой трения покоя, т.е. будет удовлетворять условию:

 

Определяя из системы уравнений силу трения  и нормальную реакцию  

                                       

 

и подставляя полученные результаты в неравенство, находим условия, при которых возможно качение ведущего колеса без проскальзывания:

 

                                                        

Пример 4.14

Колесо массы  радиуса  катится по горизонтальному прямолинейному рельсу без проскальзывания. К оси колеса приложена постоянная сила  (Рис. 4.14). Радиус инерции колеса относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно его плоскости, равен . Определить закон движения оси колеса. Моментом сопротивления качению пренебречь.

 

Рис. 4.14

В данной задаче рассматривается ведомое колесо, поскольку вращающий момент отсутствует, а колесо приводится в движение силой , приложенной к его оси. Силовая и кинематическая схемы изображены на Рис. 4.14. Обратим внимание на направление силы трения . Сила трения направлена против скорости возможного проскальзывания своей точки приложения - точки , т.е. влево – в сторону, противоположную направлению движения оси колеса.

Уравнения плоскопараллельного движения тела в рассматриваемом случае принимают вид:

 

                              

 

Дополняя полученную систему уравнений кинематическим соотношением

 

разрешаем ее относительно ускорения центра масс колеса:

 

Остается дважды проинтегрировать полученное уравнение при заданных начальных условиях:

 

Учитывая, что  получаем:

Обратим внимание на то обстоятельство, что сила трения на ведущем и ведомом колесах играет прямо противоположную роль. Для ведущего колеса сила трения – движущая сила, единственная причина возникновения ускорения центра масс колеса. Для ведомого колеса сила трения выступает в роли силы сопротивления движению центра масс тела. С другой стороны, ведущая сила трения подтормаживает вращение ведущего колеса, создавая возможность отсутствия скольжения точки касания колеса и опорной поверхности. Сила трения ведомого колеса создает его вращение, предотвращая скольжение точки контакта. Как видно, преимущество колеса, как устройства контакта движущегося экипажа с неподвижной опорной поверхностью, состоит в том, что колесо создает возможность получить в точке контакта силу трения покоя, преодоление которой не требует дополнительных энергетических затрат. Альтернативой колесу являются устройства, резко снижающие коэффициент трения скольжения.

 

Примеры динамического исследования сложных систем

 

При изучении движения механической системы, как правило, необходимо использовать несколько теорем. Если система состоит из нескольких твердых тел, то в большинстве случаев оказывается удобным (а иногда необходимым) разделить систему на части, рассматривая движение каждого тела, входящего в систему, в отдельности.

 

Пример 4.15

 

Призма (тело 1) массы  может скользить по идеально гладкой горизонтальной поверхности. В вершине призмы закреплена ось барабана лебедки (тело 2). Конец троса прикреплен к оси катка (тело 3), который катится без проскальзывания по боковой поверхности призмы (Рис. 4.15). Барабан лебедки и каток — сплошные однородные цилиндры одинаковой массы  и одинакового радиуса . К барабану лебедки приложен постоянный вращающий момент . Определить движение системы, если в начальный момент времени она находилась в покое.

Система имеет две степени свободы. В качестве параметров, определяющих положение системы примем координату  призмы и угол поворота  барабана лебедки.

 

Рис. 4.15

 

  Заметим, что внешние силы, приложенные к системе в целом, не имеют проекций на направление движения призмы (Рис. 4.15). Записывая теорему об изменении количества движения механической системы в проекциях на координатную ось ,

 

                                                        

получаем:

                                 

 

где  – скорость призмы, а – относительная скорость оси катка. Учитывая, что в начальный момент система находилась в покое,  получаем:

 

                                      

 

Рис. 4.16		Рис. 4.17

Дифференциальное уравнение вращательного движения для барабана лебедки имеет вид (Рис. 4.16):

                                                      

 

или, учитывая,   что    и  

 

                                                   

 

Для катка запишем теорему о движении центра масс в проекциях на направление оси  (вдоль наклонной плоскости) и дифференциальное уравнение вращения (Рис. 4.17):

 

                  

 

Точка  является мгновенным центром скоростей катка в его относительном движении. Учитывая, что  и , получаем:

 

                                

 

                                                                

 

Исключая из системы уравнений , силы  получаем:

 

                                        

 

Это уравнение после интегрирования при нулевых начальных условиях принимает вид:

 

                                   

 

Задача свелась к решению системы уравнений  и . Получаем:

 

                       

Пример 4.16

Каток массы  радиуса  катится без скольжения по горизонтальной поверхности под действием приложенного к нему постоянного вращающего момента . Трос, намотанный на боковую поверхность катка, сходит с него горизонтально и попадает на неподвижный блок массы  и радиуса  (Рис.4.18). К свободному концу троса привязан груз массы . Считая каток и блок сплошными однородными цилиндрами определить скорость оси катка . если в начальный момент времени система находилась в покое.

    

 Рассматривая движение каждого из тел системы в отдельности, записываем: теорему о движении центра масс катка в проекциях на горизонтальное направление:

 

                                                        

 

дифференциальное уравнение вращательного движения катка:

 

                                                

дифференциальное уравнение вращательного движения блока:

 

                                                   

 

Рис. 4.18

 

и теорему о движении центра масс груза в проекциях на вертикальное направление:

 

                                                      

Учитывая очевидные кинематические соотношения:

 

                                    

а также тот факт, что

 

                           

 

 

получаем дифференциальное уравнение:

 

                                        

 

интегрируя которое при нулевых начальных условиях, находим:

 

                                                 

 

Пример 4.17

Колесо  скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтом (Рис. 4.19). К оси колеса привязан трос, переброшенный через неподвижный блок  и прикрепленный к грузу , поднимающемуся по наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтом. В начальный момент система находилась в покое. Колесо и блок представляют собой сплошные однородные диски с массами  и  и радиусами  и  соответственно. Масса груза равна . Коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью равен . Определить скорость оси колеса, натяжение троса на участках  и , реакцию оси блока .

 

Рассмотрим движение каждого из трех тел в отдельности. Силовые схемы представлены на Рис. 4.19.

Колесо совершает плоско-параллельное движение. Одну из осей координат направим вниз по наклонной плоскости (в сторону движения центра колеса). Дифференциальные уравнения движения имеют вид:

                                                                             

 

                                                                             

                                         

Груз  движется поступательно:

 

                                     

 

                                          

 

Тело  вращается вокруг неподвижной оси:

                                                                             

 

Рис. 4.19

 

Приведенную систему уравнений необходимо дополнить кинематическими соотношениями:

                            

 

Поскольку масса троса не учитывается, то

 

                                           

 

Сила трения скольжения между грузом и опорной поверхностью определяется по формуле:

 

                                                     

Для определения реакции оси блока  используем теорему о движении центра масс (применительно к блоку ):

 

                                                                                                

При решении полученной системы уравнений, прежде всего, необходимо определить скорость оси колеса. Используя уравнения  и первое из уравнений , получаем:

 

                                      

 

Используя уравнения  и третье из уравнений , получаем:

 

                            

 

С учетом уравнений  и второго уравнения , из  получаем:

 

                                           

 

Складывая уравнения , получаем:

                                                                             

                          

 

Из уравнения  находим ускорение центра  колеса:

 

                         

 

Интегрируя по времени при нулевых начальных условиях, определяем скорость центра  колеса:

                                

 

Подставляя ускорение  центра колеса в уравнения  и , определяем натяжение троса на участках  и :

                                             

 

                                  

 

Из уравнений  определяем реакцию шарнира  блока:

 

             

 

      

 

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:

 

Из сборника задач И.В.Мещерского: 37.6; 37.9; 37.43; 37.44; 37.46; 37.50; 37.52; 37.56; 37.57; 37.58; 39.4; 39.6; 39.11; 39.13; 39.15; 39.19.

 

Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплекты СР-30; СР-31.

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5