Характеристики гармонічних коливань

1)Амплітуда коливань – найбільше відхилення від положення рівноваги;

2) - фаза коливання;

В момент часу t=0, - початкова фаза.

3)Величина Т називається періодом коливань – час протягом якого здійснюється одне повне коливання;

4) - частота коливань, кількість коливань за одиницю часу;

5) - кругова (циклічна) частота .

 

Вільні гармонічні коливання

Розглянемо коливання які відбуваються під дією пружної та квазіпружної сили.

Задача 1:

Fig 87

 

(закон Гука)

(задача одномірна)

- рівняння коливань, тут - константа визначена з початкових умов.

Задача 2: (математичний маятник)

рух типу обертового

Fig 88

 

Якщо кут достатньо малий

Задача 3: (фізичний маятник) – довільне тверде тіло, яке може коливатись відносно осі, що не проходить через центр мас цього тіла.

Fig 89

 

 

L- зведена довжина фізично маятника – довжина такого математичного маятника який коливається з цієюж частотою, що і даний фізичний маятник.

 

Задача 4: (коливання в коливальному контурі)

Fig 90

R=0 – коливальний контур без втрат

?

Fig 91

При t=0, . Вмомент часу t=0 переводимо ключ з положення 1 в положення 2. З цього моменту починається розрядка конденсатора через котушку. Індуктивність стримує розрядний струм, тому він наростає поступово. Коли конденсатор розрядиться, струм має найбільше значення; якщо б не було індуктивності струм би зник, однак самоідукції підтримує його протікання в колі, струм повільно спадає до нуля. В результаті цього, проходить перезарядка конденсатора в зворотньому напрямі. На той момент, коли струм зникає, конденсатор набуває того ж заряду тільки протилежної полярності. Після цього починається зворотній цикл.

- гармонічний закон в колі. Роль пружної сили відіграє напруга на конденсаторі.

Fig 92

 

Енергія коливань

Покажемо, що в коливальних системах без втрат виконується закон перетворення механічної енергії, причому в механічних коливаннях максимальна кінетична енергія прейде в потенціальну, і навпаки. В коливальному контурі енергія електричного поля С перетворюється в енергію магнітного поля котушки L, і навпаки.

- кінетична енергія коливань;

- потенціальна енергія коливань.

 

Сумарна енергія:

Для коливального контуру:

Cкладання коливань

1)Складання коливань одного напрямку;

а) складання коливань однакової частоти.

................................

Для складання коливань одного напрямку і одної частоти використовують метод вектора амплітуди: будують вектор по величині рівний амплітуді з кутом рівним початковій фазі.

При t=0,

Fig 93

Якщо розпочати обертати вектор А з кутовою швидкістю

проти годинникової стрілки, то в певний момент часу проекція А на вісь х дає миттєве значення х. Період коливань рівний часу одного обертання.

За даним методом складання коливань зводиться до складання відповідних векторів амплітуди.

Fig 94

 

Кінцеве

б)складання коливань з близькими частотами

сумарне коливання називається биттям і виглядає так:

Fig 95

2) Складання взаємноперпендикулярних коливань. Фігури Лісажу

Треба знайти суму коливань однієї частоти, взаємноперпендикулярних напрямів

α = 0

α = π

α =

Отже, в загальному випадку в нас є еліпс:

При a = b рух по еліпсу вироджується в рух по колу. Якщо частоти неоднакові, то рух дуже складний, якщо частоти кратні, то вийдуть фігури, які можна наперед вгадати, вони називаються фігурами Ліссажу.

:

 

Fig 96

Згасаючі коливання (коливання при наявності втрат)

- рівняння згасаючих коливань.

протилежна до швидкості: вважатимемо, що пропорційна до v. Це припущення є правомірне при не дуже великих швидкостях.

Тоді рівняння руху запишеться як: . Позначимо і . Тоді перепишемо рівняння руху . Для коливного контура

Fig 97

виходимо з другого правила Кірхгофа: . Позначимо . Розв’язок цього рівняння шукаємо в такому вигляді:

Підставляємо дані рівності і отримаємо:

, при t = 0 , - початкова амплітуда. Підставимо в перше рівняння: . При наявності опору частота коливань зменшується. Зокрема, якщо опір дуже великий коливання взагалі зникають, і є аперіодичне (неперервне) наближення системи до положення рівноваги.

Fig 98

Як бачимо з графіку, огинаюча є експонентою.