Розв’язати задачі на Класичне означення ймовірності

1 В корзині 100 кульок, помічених номерами 1,2,…,100 з корзини навмання виймають одну кульку. Обчислити імовірність того, що номер вийнятої кульки містить цифру 5.

2 У партії з 10 деталей є 6 стандартних. Знайти імовірність того, що серед п'яти взятих навмання деталей рівно три стандартних

3 Нехай Ви забули одну цифру потрібного Вам номера телефону і набираєте її навмання Яка імовірність того, що вам доведеться зробити не більше, двох спроб.

4 Скільки різних тризначних чисел можна скласти з цифр 1,2,3,4,5 за умови, що в числі немає однакових чисел

5 У партії з 10 деталей є 7 стандартних Знайти імовірність того, що серед шести взятих навмання деталей 4 стандартних

6 3 15 білетів, пронумерованих від 1 до 16, навмання вибирають один. Яка імовірність того, що номер взятого білета є число, яке не ділиться ні на 2, ні на 3?

7 У корзині 10 білих і 5 чорних кульок. Скількома способами з корзини можна вийняти навмання 3 кулі, щоб всі три кулі виявилися білими.

8 У розіграші особистої першості технікуму по шахах було зіграно 120 ігор. Скільки було учасників, якщо кожні два учасники зустрічалися між собою один раз.

9 Із 30 карт з буквами українського алфавіту беруть навмання 5 карт Яка імовірність того, що з п'яти букв у порядку вибору можна скласти слово «ХВИЛЯ»?

10 У корзині 10 білих і 5 чорних кульок. Скількома способами з корзини можна виймати навмання 3 кулі, щоб всі три були чорними

11 У корзині 15 білих і 8 чорних куль. Скількома способами з корзини можна виймати навмання 3 кулі, одна з яких біла, а дві чорні

12 Телефонна лінія, що з'єднує два пункти А і В, які розташовані один від одного на відстані 2 км, обірвалась у невідомому місці Яка імовірність, що обрив знаходився не далі ніж за 450 м від пункту А.

13 В корзині 10 білих і 5 чорних кульок. Скількома способами з корзини можна виймати навмання 3 кулі, дві з яких білі і одна чорна.

14 Скільки різних тризначних чисел можна скласти з цифр 1,2,3,4,5,6,7 за умови, що в числі немає однакових чисел.

15 Вісім різних книг розставляють навмання на одній полиці. Знайти імовірність того, що дві певні книги виявляться поставленими поряд.

16 В корзині 10 білих і 5 чорних кульок. Скількома способами з корзини можна виймати навмання 3 кулі, одна з яких біла, а дві чорні.

17 В корзині 100 кульок, помічених номерами 1,2, ….,100. з корзини навмання виймають одну кульку. Обчислити імовірність того, що номер вийнятої кульки містить цифру 5.

18 У корзині 12 білих і 6 чорних кульок. 3 корзини виймають дві кулі. Яка імовірність того, що обидві кулі виявляться білими.

19 У розіграші особистої першості технікуму по шахах було зіграно 120 ігор. Скільки було учасників, якщо кожні два учасники зустрічалися між собою один раз.

20 У партії із 200 деталей,150 – І сорту, 30 - ІІ сорту, 16 третього і 4 браковані деталі. Яка імовірність того, що навмання узята деталь буде або першою, або іншого сорту?

21 Скільки різних тризначних чисел можна скласти з цифр 1,2,3,4,5,6,7 за умови, що в числі немає однакових чисел.

22 У партії з 12 деталей є 7 стандартних Знайти імовірність того, що серед шести узятих навмання деталей 4 стандартних

23 У корзині 10 білих і 5 чорних кульок. Скількома способами з корзини можна виймати навмання 3 кулі, одна з яких біла, а дві чорні.

24 У розіграші особистої першості по шахах було зіграно 120 ігор Скільки було учасників, якщо кожні два учасники зустрічалися між собою один раз.

25 У партії з 8 деталей є 6 стандартних. Знайти імовірність того, що серед п'яти взятих навмання деталей рівно три стандартні.

26 У корзині 10 білих і 5 чорних кульок. Скількома способами з корзини можна виймати навмання 3 кулі, щоб всі три були чорними.

27 У розіграші першості технікуму по шахах було зіграно 140 ігор. Скільки було учасників, якщо кожні два учасники зустрічалися між собою один раз.

28 Десять різних книг розставляють навмання на одній полиці. Знайти імовірність того, що дві певні книги виявляться поставленими поряд.

29 У партії з 15 деталей є 8 стандартних. Знайти імовірність того, що серед шести узятих навмання деталей 4 стандартних.

30 У корзині 15 білих і 10 чорних кульок. Скількома способами з корзини можна виймати навмання 3 кулі, одна з яких чорна, а дві білі.

 

 

Задача № 2

За формулою повної ймовірності та формулою Байєса, розв’язати задачу:

На складі 12 + N деталей заводу №1, 20 + N деталей заводу №2, 18 + N деталей заводу №3. Ймовірність того, що деталь заводу №1 відмінної якості дорівнює 0,9, заводу № 2 дорівнює 0,6, заводу № 3 дорівнює 0,9.

Знайти ймовірність того, що деталь навмання вибрана буде якісною і виготовлена на другому заводі.

N – номер вашого варіанту.

 

Наприклад

Ваш варіант №7,тоді деталей заводу №1 дорівнює 12+7=19, деталей заводу №2 дорівнює 20+7=27, деталей заводу №3 дорівнює 18+7=25.

 

Задача 3

 

За допомогою формули Бернулі розв’язати задачу.

В лотереї з n білетів m мають виграти. Знайти ймовірність того, що серед навмання взятих k білетів 2 виграють.

 

Таблиця 1 Індивідуальні завдання до задачі №3

 

варіант	m	n	k	варіант	m	n	k	варіант	m	n	k

Задача №4

Користуючись локальною та інтегральною теоремами Лапласа, визначте ймовірність того, що із n посаджених дерев прийметься:

3.1 рівно m;

3.2 не менше k₁ і не більше k₂.

Ймовірність того, що рослина прийметься на новому місці дорівнює Р.

 

Таблиця 2 Індивідуальні завдання до задачі №4

 

варіант	n	m	k1	k2	P	варіант	n	m	k1	k2	P
					0,8						0,7
					0,9						0,8
					0,8						0,9
					0,7						0,7
					0,8						0,9
					0,9						0,8
					0,8						0,7
					0,8						0,8
					0,8						0,8
					0,8						0,9
					0,8						0,8
					0,9						0,7
					0,8						0,7
					0,8						0,8
					0,8						0,7

 

 

Самостійна робота № 3 (11 годин)

Тема: Повторні події.. Випадкові величини. Дискретні випадкові величини та закон розподілу випадкової величини. Числові характеристики дискретної випадкової величини. Функція розподілу випадкової величини. Щільність розподілу. Числові характеристики неперервних випадкових величин. Нормальне розподілення, його числові характеристики.

 

Мета: придбати навички розв’язування задач з обчислень числових характеристик дискретних випадкових величин. Навчитися знаходити щільність розподілу та числові характеристики нормального розподілення.

 

Теоретичні відомості

1.1 Означення. Випадковою називається величина, яка в результаті випробування приймає з деякою ймовірністю те чи інше значення, що залежить від результату випробування.

Випадкові величини позначаються великими латинськими літерами: Х,У, Z, і т.д., а їх значення прописними літерами: х, у, z, і т.д.

Означення. Випадкова величина називається дискретною, якщо множина її значень скінчена, тобто множина значень утворює скінчену послідовність х₁,х₂,х₃ …, х_n.

Означення. Відповідність між можливими значеннями х₁,х₂,х₃ …, х_n випадкової величини Х і їх ймовірностями р₁,р₂,р₃ …, р_n називається законом розподілення випадкової величини Х.

 

х	х1	х2	…	хі	…	хn
р	р1	р2	…	рі	…	рn

 

де р₁ + р₂ + … + р_n = 1

Означення. Закон розподілення випадкової величини Х має вид.

 

хі				…	m	…	n
рі				…		…

 

і називається біномінальним законом розподілення.

 

1.2 Числові характеристики дискретних випадкових величин.

Числа, які описують випадкову величину сумарно, такі числа називають числовими характеристиками випадкових величин.

Такими характеристиками є: математичне сподівання або очікування, дисперсія, середнє квадратичне відхилення.

Числові характеристики:

 

Математичне сподівання вказує на середнє значення випадкової величини

 

М(х)= , 1.2.1

 

Дисперсія:

_, 1.2.2

 

1.3 Означення. Функцією розподілу випадкової величини називають функцію F(x), яка визначає для кожного значення х ймовірність того, що випадкова величина Х приймає значення менше за х

F(x)=P(X<x), 1.3.1

 

Властивості функції розподілу

 

0<F(x)<1, 1.3.2

 

F(x₂)>F(x₁),при х₂>х₁ 1.3.3

 

якщо х є (а;в) 1.3.4

 

1.4 Наслідок. Ймовірність того що випадкова величина Х приймае значення з інтервалом (а;b) дорівнює приросту функції розподілу на цьому інтервалі.

P(a<X<b)=F(b)-F(a) 1.4.1

 

1.5 Означення. Щільністю розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини називають першу похідну від функції розподілу.

 

f(x)=F^'(x) 1.5.1